réciproque matrice associé à une application linéaire

[invite583d583a]

Voila mon problème: on sait qu'à toute application linéaire on peut associer une matrice et que réciproquement à toute matrice on peut associer une application linéaire. Mais par exemple prenons une application quelquonque qui va de Vect( (1,0,0,0), (0,1,1,0), (0,0,0,1) ) dans R^4 .
On Aura donc une matrice avec 4 lignes et 3 colonnes, donc l'application l'inéaire associé à cette matrice ira de R^3 dans R^4, or les vecteurs que j'ai pris au départ sont dans R^4! Voila en fait je m'embrouille peut etre un peu () mais j'aimerai comprendre où sont les erreurs dans ce que je fais!
Merci d'avance.
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[invitebb921944]

Bonjour,
Ton sous-espace vectoriel engendré, c'est si je ne m'abuse. Tu fais juste un abus de notation.

[invite583d583a]

Merci mais est ce que vous pourriez détailler la manière dont vous trouver que c'est R^3? Et est ce que cela veut dire que quand on prends un espace vectoriel engendré par n vecteurs, même si ces vecteurs ont plus de n coordonées, on peut se rapporter à des vecteurs a n coordonnées pour la base de l'espace vectoriel engendré? (J'espère être compréhensible!)

[invitebb921944]

En fait, un espace vectoriel engendré par des vecteurs de E, c'est par définition le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs.
Ainsi, un espace vectoriel engendré par des vecteurs de R^4 est un sous-espace vectoriel de R^4.
Or, tes 3 vecteurs sont indépendants, ils engendrent donc un sous espace vectoriel de R^4 de dimension 3, qui est R^3x{0} (R^3 n'est pas à proprement parler un sous-espace vectoriel de R^4). Les vecteurs de ce sous-espace de R^4 ont bien 4 coordonnées et non 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

En fait, un espace vectoriel engendré par des vecteurs de E, c'est par définition le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs.
Ainsi, un espace vectoriel engendré par des vecteurs de R^4 est un sous-espace vectoriel de R^4.
Or, tes 3 vecteurs sont indépendants, ils engendrent donc un sous espace vectoriel de R^4 de dimension 3, qui est par conséquent R^3x{0} (R^3 n'est pas à proprement parler un sous-espace vectoriel de R^4). Les vecteurs de ce sous-espace de R^4 ont bien 4 coordonnées et non 3.
Dis toi qu'en tant que sous espace vectoriel de E, ce sous-espace en question contient des vecteurs qui sont aussi des vecteurs de E.
Ainsi, les vecteurs de ton sous espace engendré doivent être aussi des vecteurs de R^4. Un vecteur de R^3 n'est pas un vecteur de R^4 puisqu'ils n'ont pas le même nombre de coordonnées. En revanche, un vecteur de R^3x{0} est bien un vecteur de R^4. (et R^3x{0} est bien de dimension 3, ce qui est le nombre de vecteurs indépendants de la famille que tu as donnée)
Je sais pas si c'est clair...

Désolé petit souci, j'ai du valider la réponse incomplète sans m'en rendre compte...