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Conique, matrice, changement de repère



  1. #1
    blable

    Conique, matrice, changement de repère


    ------

    Bonjour tout le monde,


    l'équation d'une conique étant

    ax² + 2bxy + cy² + 2dx +2ey +f = 0
    on lui associe l'écriture matricielle (dans la base canonique)
    (desole, je gere par l'écriture sur le forum, donc j'écrirai t(A) pour la transposée de A ... :s )
    t(X)AX + 2LX + f = 0 (1)
    avec A = [[a,b][b,c]] , L=[d,e] et X=[[x],[y]]



    Changement de repère:

    dans un repère (O',u,v) l'équation (1) s'écrit

    t(X')A'X' + 2L'X' + f' = 0
    avec X' le vecteur X dans le nouveau repère,
    A'=t(P)AP où P est la matrice de passage de B à (0',u,v)
    L'=t(X0)AP + LP , avec X0 les coord de 0' dans B
    f'=t(X0)AX0 + 2LX0 + f

    pour démontrer cette formule, il "suffit" de remplacer X par PX' + X0,

    seulement voilà, je suis amené à montrer t(X')t(P)AX0 = t(X0)APX' ce qui amène le facteur 2 on met ensuite ce terme dans L'

    J'ai montré cette égalité de façon bourrin ... pouvez me donner une version élégante de la démonstration, sachant qu'on est en dim2 et que A est symétrique ?

    Merci d'avance.
    Blable.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    blable

    Re : Conique, matrice, changement de repère

    je relance le sujet au cas où

  4. #3
    God's Breath

    Re : Conique, matrice, changement de repère

    Citation Envoyé par blable Voir le message
    Bseulement voilà, je suis amené à montrer t(X')t(P)AX0 = t(X0)APX' ce qui amène le facteur 2 on met ensuite ce terme dans L'

    J'ai montré cette égalité de façon bourrin ... pouvez me donner une version élégante de la démonstration, sachant qu'on est en dim2 et que A est symétrique ?
    La matrice t(X')t(P)AX0 n'a qu'un seul élément, donc elle est égale à sa transposée...

  5. #4
    blable

    Re : Conique, matrice, changement de repère

    la matrice n'étant même pas carrée, vue qu'elle est du type transposée de vecteur ... je vois pas comment t'affirmes que la matrice est égale à sa transposée

  6. #5
    invite43219988

    Re : Conique, matrice, changement de repère

    Bonjour,
    la matrice est carré puisqu'elle est de taille 1x1 comme te le dit God's Breath. Elle n'est nullement une transposée de vecteurs mais un produit de transposées de vecteur et de transposées de matrices entre autre, ce qui n'est pas vraiment la même chose.
    t(X0) est de taille 1x2
    t(P) est de taille 2x2
    Donc t(X0)t(P) est de taille 1x2
    A est de taille 2x2
    Donc t(X0)t(P)A est de taille 1x2
    X0 est de taille 2x1
    Donc t(X)t(P)AX0 est de taille 1x1, elle est donc égale à sa transposée.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    blable

    Re : Conique, matrice, changement de repère

    ah oui, desolé. merci bien a vous deux en tout cas

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