DM algèbre

[invite70424c07]

J'ai besoin d'aide ca serait gentils de me donner un ptit coup de main
montrer que 'application determinant est continue, de ca en déduire que GLn(K) est un ouvert de Mn(K)
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[invite769a1844]

Bonjour,

Le déterminant est une fonction polynômiale, donc continue,
comme toute forme multilinéaire en dimension finie.
Pour l'autre question, quel rapport tu peux établir entre et le déterminant?

[invite70424c07]

ben GLn signifie que la matrice est inversible dans K, donc si elle est inversible, on peut calculer son déterminant mais je vois pas le rapport avec l'ouvert

[invite769a1844]

... et une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite70424c07]

maintenant, j'ai une équivalence à montrer
P appartient à R[X] unitaire de degré n est scindé <=> quelquesoit z appartenant à C |P(z)|> ou = à |Im(z)|^n

[invite769a1844]

Dans le sens direct, tu écris sous sa forme scindée où les sont réels par hypothèse.
Ensuite tu prends , et il n'est pas bien difficile de voir que .

Pour l'autre sens, tu sais que est scindé dans , donc tu peux l'écrire sous la forme où les sont complexes.
Ensuite si tu prends un , il faut montrer que est réel.
Pour cela utilise l'inégalité donnée dans l'hypothèse.

[invite70424c07]

merci, mais ce n'est pas fini!!
en déduire que l'ensemble S des polynomes unitaire scindé de degré n est un fermé de U, l'espace des polynomes unitaires de degré N

[invite769a1844]

Tu peux déjà commencer par remarquer que étant de dimension finie,
pour , si alors pour tout .
Ensuite tu utilises la caractérisation séquentielle d'un fermé.

[invite70424c07]

c'est quoi le caractérisation séquentielle d'un fermé???

[invite70424c07]

je crois que je n'est pas vu cette notion

[invite769a1844]

S est fermé dans U ssi toute suite de points de S convergente dans U a sa limite dans S.

[invite70424c07]

j'ai pas du voir cettenotion

[invite769a1844]

tu n'as aucun critère sur les fermés?

Sinon tu peux montrer que est ouvert dans .