montrer qu'un élément appartient à un complété

[invite5a9ae21f]

Bonjour,

Je souhaite caractériser les éléments du complété d'un espace E : un truc du genre

x appartient au complété de E ssi certaines propriétés sur x.

Partant d'un élément dont je suppose ces propriétés, quels sont les possibilités qui s'offrent à moi pour montrer qu'il appartient à ce fameux complété ? A part montrer que cet élément est la limite d'une suite de Cauchy d'éléments de E, je vois pas ce que je pourrais faire d'autre. J'ai cherché à droite à gauche, mais j'ai rien trouvé.

Si vous avez en tête des démarches classiques autres que celle que j'ai évoquée...

Merci !
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[invite986312212]

en général je ne suis pas sûr qu'il y ait d'autre caractérisation, vu qu'on construit le complété justement comme "ensemble des limites des suites de Cauchy" (avec un énorme abus de langage). Par contre dans des cas particuliers, il y a d'autres caractérisations, notamment pour le corps ordonné Q, dont on peut construire le complété à l'aide de coupures.

[invite5a9ae21f]

Oui non moi c'est pas des espaces comme Q ou R que je manipule.

Donc il n'y a vraiment que ça, arf... au passage, je vois pas trop en quoi, comme on le dit effectivement, compléter n'est qu'ajouter à l'espace les limites des suites de Cauchy : c'est beaucoup plus que ça non ? (puisque la complétude entraine le fait que toute suite de Cauchy converge, il s'agit pas seulement de prendre les limites de celles qui convergent déjà...)

Au passage, j'ai un soucis de notion entre complétude et fermeture. En effet, Si E' est le complété de E, alors E dense dans E'. Mais alors, ça veut dire que la fermeture de E est égal à E', et donc je tombe sur la proposition abbérante que le fermé et le complété sont un même objet

[invite74de5f91]

Le complété d'un espace E peut être vue intuitivement comme l'ensemble des suites de Cauchy dans cette espace modulo une relation d'equivalence qui identifie les suites qui se "rapprochent" à l'infini. C'est ce qu'on fait pour passer de Q à R mais aussi de n'importe quel espace vectoriel topologique à son complété (en utilisant des filtres...).
Il se trouve alors qu'on peut definir canoniquement une topologie sur le complété qui est telle que
- le complété E' est bien complet
- l'espace E s'injecte de façon continue dans E'
- E est dense en tant que partie de E' (et donc pour la topologie de E').
Le fait que la fermeture de E (pour la topologie de E') soit égale à E' ne veut pas dire que fermeture et completion sont les même notions. Par exemple, la fermeture de E pour la topologie de E est égale à E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f67e63a]

Heu "n'importe quel espace topologique" non (fut il vectoriel) il faut qu'il soit métrique au minimum pour parler de suite de Cauchy.

[invite57a1e779]

Heu "n'importe quel espace topologique" non (fut il vectoriel) il faut qu'il soit métrique au minimum pour parler de suite de Cauchy.

Heu... il me semble que l'espace (vectoriel) des fonctions test définies sur est muni d'une structure uniforme pour laquelle c'est un espace complet, mais qu'il n'est pas métrisable pour autant.

[invite5f67e63a]

C'est un espace de Frechet non? il est métrisable si on prend par exemple la famille de semi normes associés au pavés donc les coefficients des sommets sont rationnels, on peut construire une distance assoicée à ces semi norme qui en fait un espace complet...

Apres bon, je ne connais que la définition de suite de Cauchy dans un espace métrique, mais sans doute y en a t'il de plus generale? C'est quoi ta définition d'espace topologique complet?

[invite57a1e779]

Donc il n'y a vraiment que ça, arf... au passage, je vois pas trop en quoi, comme on le dit effectivement, compléter n'est qu'ajouter à l'espace les limites des suites de Cauchy : c'est beaucoup plus que ça non ? (puisque la complétude entraine le fait que toute suite de Cauchy converge, il s'agit pas seulement de prendre les limites de celles qui convergent déjà...)

C'est là que le passage au complété est magique !!!

En ajoutant des limites pour les suites de Cauchy divergentes, il se trouve que toutes les suites de Cauchy du complété obtenu, même celles qui utilisent les points ajoutés, sont convergentes.

La situation est différente pour la complétion algébrique d'un corps:
Si on ajoute à un corps les racines de tous les polynômes à coefficients dans , on obtient un corps , mais il peut se faire que certains éléments de n'aient pas de racines. Pour obtenir une clôture algébrique de , on est obligé d'itérer le procédé.

[invitea41c27c1]

La situation est différente pour la complétion algébrique d'un corps:
Si on ajoute à un corps les racines de tous les polynômes à coefficients dans , on obtient un corps , mais il peut se faire que certains éléments de n'aient pas de racines. Pour obtenir une clôture algébrique de , on est obligé d'itérer le procédé.

En fait si:

Si sont deux anneaux et si est l'ensemble des éléments de entier sur , alors tout élément entier sur l'est aussi sur , i.e. .

Exemple: l'ensemble des nombres complexes entiers sur est un corps clos.



Sinon concernant l'uniformité:
On peut définir l'uniformité sur des groupes topologiques.
Une suite de est de Cauchy si:
voisinage de , .

[invite74de5f91]

Heu "n'importe quel espace topologique" non (fut il vectoriel) il faut qu'il soit métrique au minimum pour parler de suite de Cauchy.

Si, n'importe quel espace vectoriel topologique (séparé). On n'a pas besoin de métrique. On définit le complété à partir de filtres de Cauchy.