TF des fonctions L2 intégrables

[invite69d38f86]

Bonjour

En Mécanique Quantique on utilise beaucoup l'espace de Hilbert H des fonctions de carré intégrables.
Comment caractériser parmi elles celles qui ont une transformée de Fourier bien définie?
forment elles un ensemble dense dans H
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[invite69d38f86]

Tout d'abord est ce ?

[invite74de5f91]

Qu'appelle tu "avoir une transformation de Fourier bien définie" ?
On peut définir la transformation de fourier de toute distribution tempérée, et donc la transformation de Fourier est "bien définie" pour beaucoup plus de fonctions que simplement ou.
En particulier, toute fonction a une transformation de Fourier bien définie, et cette transformée est elle même une fonction .
On a même plus précisement que la transformée de Fourier est une isométrie de l'espace de Hilbert .

[invite69d38f86]

Bonjour

Je ne m'intéresse ici qu'au sous ensemble de fonctions f(x,y,z) de carré intégrable pour lesquelles TF(f) est une fonction définie pour tout k1,k2,k3.
S'ils forment un ensemble S dense de H, on peut former le triplet de Gelfand
(S' dual de S)
H est alors dense dans S' qui contient alors dans ce cas les ondes planes de la mécanique quantique exp(ikx) qui opérant sur les fonnctions de S correspondent à la transformée de Fourier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74de5f91]

Et bien je le répète : Toute fonction de carré integrable, a une transformation de Fourier qui est une fonction (et en plus elle est elle meme de carré integrable).

[invite69d38f86]

Il y a effectivement une transformée de Fourier pour les fonction intégrables et une extension appelée transformée de Fourier-Plancherel qui paut s'appliquer aux fonctions de carré intégrable mais non intégrables.
Ces deux notions coincident sur
Regarde Transformation_de_Fourier_pour _les_fonctions_de_carré_sommab le
Tu as tort si tu prends la transformée de base (ou raison si tu penses à l'autre!)

[invite74de5f91]

Evidemment je pense à l'autre, puisque c'est la "vraie" transformée de Fourier (qui va de S' dans S').
J'imagine que toi aussi, non? Quel est l'interet sinon ?

[invite69d38f86]

Bonjour Aleph-0

Eh non
Ma question portait biensur le TF basique.
Quel est son domaine de définition S dans H?
Tu es le seul à répondre, çà semble prouver que ce n'est pas si évident pour tout le monde.
N'hésite pas à donner des précisions.

merci encore

[invite74de5f91]

Pour préciser les choses, il y a deux transformation de Fourier que l'on peut appeler basique :
- la plus basique : celle qui est définie de dans , que j'appelerai
- celle dont tu parles qui va de à (espace de Banach des fonctions continues qui convergent à 0 à l'infini) que j'appelerai

Ce que les mathématiciens de l'analyse fonctionnelle appellent "Transformation de Fourier" ne sont ni ni , mais l'extension qui est definie par transposition de , et qui donc va de dans . On montre alors que étend (et aussi ) et on peut parler de transformation de Fourier pour énormément de fonctions et de distributions. En particulier envoit dans .
D'ailleurs, certains auteurs (dont F. Trèves) ne mentionnent pas , puisqu'elle ne sert même pas dans la définition de . Ils remarquent simplement que , une fois restreinte à , donne une fonction de , (et que cette restriction est injective continue) et c'est tout.

Si tu fais référence dans ta question à la transformation de Fourier basique , ta question est alors
"Quelles sont les fonctions de qui sont dans " ? La réponse est alors ...
Je n'étais pas convaincu de la pertinence de cette question, c'est pourquoi je pensais que tu faisais référence à la transformée de Fourier et non pas .

[invite74de5f91]

Précision de notation : est l'espace de Schwartz des fonctions rapidement décroissantes (cf. ici)

[invite69d38f86]

Merci pour cette réponse.

Ma question provenait de la mécanique quantique.
Je me demandais quelles sont les fonctions de carré intégrables (donc pas forcément intégrables) telle que le nombre complexe
soit défini pour tout x.
Je ne les cherchais donc pas forcément dans L1.

[invite74de5f91]

Si ton symbole fait réference à l'integrale de Lebesgue sur (comme j'imagine que c'est le cas en mécanique quantique), il s'agit bien de trouver des fonctions de telles que soit Lebesgue integrable pour tout . C'est à dire, puisque l'integrale de Lebesgue est une integrale de type "absolu", telle que
soit Lebesgue integrable pour tout , c'est à dire telle que .
C'est bien la raison pour laquelle la transformée de Fourier basique est définie sur .