code binaire poissonien

[invite07dd2471]

bonjour,

j'ai des petits problèmes sur un exercice en traitement du signal, et ce sont des problèmes de maths.. si quelqu'un parvient à m'aider ce serait vraiment super

Alors voilà j'ai X(t) un processus aléatoire binaire qui vaut soit 0 soit 1 à tout instant.

si à un instant quelconque t le processus vaut une de ces deux valeurs, alors à un instant u, il a une probabilité d'avoir la même






et donc une probabilité de changer de valeur qui est complémentaire :





de plus, à l'instant t = 0, le processus vaut 0 avec une probabilité q et 1 avec une probabilité 1-q

on me demande de calculer à un instant t quelconque, la probabilité que le processus vaille 1. Je trouve :




est-ce correct ? bon ensuite ya une ou deux questions que je sais faire et après en se plaçant dans le cas q=1/2, on me demande de calculer l'autocorrélation du processus X(t) : en gros si quelqu'un est bon en math mais ne connait pas ça c'est le signal convolué avec lui-même , je dois trouver la fonction Gammaxx suivante :



le problème c'est que mon x(t) est à la fois simple (il vaaut 0 ou 1) et compliqué ( c'est des probas) alors je sais qu'on peut faire intervenir des densités de probabilité là-dedans tout ça mais je ne sais pas trop comment.

si une âme charitable passe par là..

merci beaucoup
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[inviteaeeb6d8b]

on me demande de calculer à un instant t quelconque, la probabilité que le processus vaille 1. Je trouve :

Je ne sais pas si c'est correct (pas fait le calcul), mais pour trouver la réponse il faut faire le raisonnement suivant :

à l'instant t, vaut 1 s'il "ne s'est rien passé" (proba p) (en fait il a pu se passer des choses, mais on est revenu au point de départ) et si (proba 1-q)

ou si "il s'est passé quelque chose"
(proba 1-p) et si (proba q)

on trouve alors (avec une hypothèse d'indépendance sous-entendue) :


et tout ça avec

Note : évite d'appeler plein de choses différentes...

le problème c'est que mon x(t) est à la fois simple (il vaaut 0 ou 1) et compliqué ( c'est des probas) alors je sais qu'on peut faire intervenir des densités de probabilité là-dedans tout ça mais je ne sais pas trop comment.

Tu n'as aucune chance de faire intervenir des densités là-dedans car pour tout , est une variable aléatoire discrète.

Bon courage

[invite07dd2471]

désolé pour les notations, d'habitude je note p(un truc explicite) mais j'ai eu un peu la flemme..

ok ben j'ai fait le même calcul que toi donc à moins d'une bête faute de calcul c'est bon, merci

pour la densité de proba, je me disais bien qu'il y avait quelque chose qui n'allait pas.. et tu ne sais pas comment je peux faire pour calculer le produit de convolution ?

et si jamais tu ne sais pas ça peut être correct que je trouve un truc qui ne dépend pas de ?

[inviteaeeb6d8b]

pour la densité de proba, je me disais bien qu'il y avait quelque chose qui n'allait pas.. et tu ne sais pas comment je peux faire pour calculer le produit de convolution ?

Il y a toujours quelque chose qui va pas à mon avis...
dans ton intégrale, qui est ?

si c'est la valeur (aléatoire) du processus à l'instant , ça va être difficile de calculer cette intégrale...

quand on calcule un produit de convolution, on fait le produit des densités...
en imaginant que admette une densité (ce qui n'est pas le cas, encore qu'on pourrait parler d'une densité par rapport à la mesure de comptage...) qu'on note (et oui, "a priori" cette densité dépend de ), alors le produit de convolution serait quelque chose comme :

et ce n'est pas qui varie...

mais je t'avoue que je n'y connais strictement rien en traitement du signal, et peut-être qu'on ne parle pas des même choses...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

J'ai trouvé ça sur wiki :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Autocorr%C3%A9lation

j'ai compris ça :
l'autocorrélation telle que tu cherches à la calculer correspond (à mon avis) à un processus déterministe (pas d'aléa).

l'autocorrélation pour un signal aléatoire semble correspondre à ce qu'on appelle fonction de covariance pour un processus stochastique (à une constante additive (le produit des espérances) près).

Bref, je pense que l'autocorrélation est donnée par
pour et réels positifs

ton processus est stationnaire, donc tu peux aussi calculer :

(l'idée est que l'autocorrélation ne dépend que de la différence entre les deux temps par stationnarité)

Pour calculer ça, c'est facile :
peut prendre deux valeurs : 0 ou 1
tu n'as plus qu'à déterminer la proba que prenne la valeur 0 (c'est le cas si un ou l'autre des deux facteurs vaut 0)

et la proba que prenne la valeur 1 (c'est le cas si les deux facteurs valent 1)

et même (pour t'éviter des calculs inutiles), tu n'as qu'à calculer la deuxième probabilité puisque :


c'est presque fini là

[invite07dd2471]

ok j'avais fait des trucs du genre mais je trouvais des résultats bizarres genre j'avais trouvé avec q = 1/2 que la moyenne de mon processus valait 1, ce qui veut dire qu'il vaut tout le temps 1, bref j'avais fait pas mal de conneries..


merci beaucoup pour l'aide !