Relations binaires

[Dindonneau]

Salut!
J'ai du mal à trouver une définition unanime d'une relation binaire... Je regarde des bouquins différents et ils ne disent absolument la même chose. Ex:

"On appelle relation binaire de E vers F, le triplet R = (E,F,G) où G est une partie de E*F. G est appelé le graphe de la relation R."

Une autre:
"Une relation binaire R est une fonction de E*F à valeurs booléennes."

La première n'est pas très claire et surtout pas intuitive.
La 2° se mort la queue puisqu'elle utilise la définition de fonction alors qu'une fonction est une application particulière qui est elle même une relation sur E particulière...(enfin je crois )
Si vous pouviez me donner une définition claire je vous serez vraiment très reconnaissant!
Merci d'avance!!
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[Gwyddon]

Salut!
J'ai du mal à trouver une définition unanime d'une relation binaire... Je regarde des bouquins différents et ils ne disent absolument la même chose. Ex:

"On appelle relation binaire de E vers F, le triplet R = (E,F,G) où G est une partie de E*F. G est appelé le graphe de la relation R."

Une autre:
"Une relation binaire R est une fonction de E*F à valeurs booléennes."

La première n'est pas très claire et surtout pas intuitive.
La 2° se mort la queue puisqu'elle utilise la définition de fonction alors qu'une fonction est une application particulière qui est elle même une relation sur E particulière...(enfin je crois )
Si vous pouviez me donner une définition claire je vous serez vraiment très reconnaissant!
Merci d'avance!!

je ne voudrais pas te blesser, mais la 1ere définition est on ne peut plus claire : si tu penses à la relation = sur un ensemble E, c'est bien une partie de E*E (cette partie étant G= {(x,x), x dans E})

La 2e par contre est assez bizarre, car effectivement une fonction est déjà en soit une relation binaire, et avec la première définition G est le graphe de la fonction (le graphe que l'on a l'habitude de tracer pour des fonctions d'une variable réelle)

Mais si tu accepte la définition de fonction comme donnée préalablement à la définition d'une relation binaire, alors la 2nde définition te redonnes bien la 1ere (la fonction booléeenne étant "si (x,y) dans G alors true ; sinon false")

@+

julien

[C.B.]

Salut!
J'ai du mal à trouver une définition unanime d'une relation binaire... Je regarde des bouquins différents et ils ne disent absolument la même chose. Ex:

"On appelle relation binaire de E vers F, le triplet R = (E,F,G) où G est une partie de E*F. G est appelé le graphe de la relation R."

Une autre:
"Une relation binaire R est une fonction de E*F à valeurs booléennes."

Les deux notions sont équivalentes (à isomorphisme près).
Il revient au même de se donner E, F et une partie de E*F ou de se donner une fonction de E*F dans {0,1}.

En effet, à une partie G on associe sa fonction caractéristique de G (qui à x associe 1 s'il est dans G, 0 sinon).
A une fonction h de E*F dans {0,1}, on peut associer l'ensemble G des couples (x,y) tel que h(x,y)=1. On peut donc associer à une telle fonction le triplet (E,F,G).

Bref, les deux reviennent au même.

La première n'est pas très claire et surtout pas intuitive.
La 2° se mort la queue puisqu'elle utilise la définition de fonction alors qu'une fonction est une application particulière qui est elle même une relation sur E particulière...(enfin je crois )

En fait, la deuxième utilise la notion de fonction : On sait définir ce qu'est une fonction, donc on peut s'en servir pour définir d'autres objets, ça ne se mort pas la queue.
Il est vrai que l'on peut définir une fonction comme un cas particulier de la première définission de relation binaire. Mais cela n'enlève rien à l'utilité de la seconde : on revient rarement aux objets premiers en mathématique.