tenseur de courbure? sens du déterminant?

[mach3]

Bonjour,

J'effectue, dans le cadre d'une démonstration, des calculs sur des surfaces de R³. Je ne suis pas mathématicien, donc j'ai peu de mal à bien voir le sens de différents termes.

Je sais que la dérivée seconde par rapport à x (à y constant) est une courbure, de même pour la dérivée seconde par rapport à y (à x constant). Je les ai appelée et , pour être plus concis.

Je sais ensuite que la dérivée par rapport à x (à y constant) elle-même dérivée par rapport à y (à x constant) est une torsion, que je note

ensuite d'après divers trucs trouvés à droite à gauche sur le net, il semble qu'on puisse définir une bestiolle appelée tenseur de courbure:



il se trouve que le déterminant de cette bestiole () s'invite tout seul dans les calculs.

Je me demandais si ce déterminant à un sens particulier, notamment par rapport à son signe?

merci de votre aide

m@ch3
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[invite07dd2471]

ça correspond à la recherche de points critiques, et ensuite savoir si ils sont dégénérés ou non.

si ta dérivée par rapport à x ( à y constant ) et ta dérivée par rapport à y ( à x constant ) sont nulles en un même point que je vais appeler a, tu as ce qu'on appelle un point critique.

après si le déterminant dont tu parles n'est pas nul.

1er cas : il est positif

1er sous cas : ta dérivée seconde par rapport à x ( les deux à y constant ) et ta dérivée seconde par rapport à y ( les deux à x constant ) sont positives (strictemenent en a) : tu as un minimum local strict en a

2nd sous cas : si elles sont toutes les deux négatives ( strictement ) en a, tu as un maximum local strict en a ( tu peux voir une analogie avec la 1D, quand tu as une dérivée première nulle en un point x alors tu as un minimum local si la dérivée seconde en x est positive et un max local si cette dérivée seconde en x est négative )

ensuite 2ème grand cas : si le determinant est négatif, tu n'as pas d'extremum local strict en a ( on appelle ça un point selle, car ta courbe a à cet endroit l'allure d'une selle de cheval : t'as un max selon une direction ( par exemple ça descend sur les flancs du cheval ) et un min suivant une autre ( ça remonte vers la tête et le derrière ) )

j'espère avoir été clair...

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

J'effectue, dans le cadre d'une démonstration, des calculs sur des surfaces de R³. Je ne suis pas mathématicien, donc j'ai peu de mal à bien voir le sens de différents termes.

Je sais que la dérivée seconde par rapport à x (à y constant) est une courbure, de même pour la dérivée seconde par rapport à y (à x constant). Je les ai appelée et , pour être plus concis.

Je sais ensuite que la dérivée par rapport à x (à y constant) elle-même dérivée par rapport à y (à x constant) est une torsion, que je note

ensuite d'après divers trucs trouvés à droite à gauche sur le net, il semble qu'on puisse définir une bestiolle appelée tenseur de courbure:



il se trouve que le déterminant de cette bestiole () s'invite tout seul dans les calculs.

Je me demandais si ce déterminant à un sens particulier, notamment par rapport à son signe?

merci de votre aide

m@ch3

Il faudrait que tu précises ce que tu fais exactement.

Comme tu parles de dérivées secondes, j'ai l'impression que cela fait référence à la K courbure normale et non à la torsion.

La quantité K que tu fais allusion selon le signe distingue 3 sortes de points:

K> 0 : point elliptique (selle de cheval).
K= 0 : point parabolique.
K<0: point hyperbolique.

[mach3]

très clair! je te remercie

les points qui m'intéressent sur mes surfaces sont des minimum locaux à un plan affine près : la courbure est positive dans toutes les directions, mais le point n'est pas un minimum, il le devient si on soustrait le plan tangent à la surface.

Donc si je te suis, dans ce cas, mon déterminant est toujours positif. J'avais d'ailleurs montré cela pour les points qui m'intéressaient en particulier, mais n'était pas sur que c'était une généralité.
J'imagine qu'il y a un théorème, aurais-tu des liens ou des ref la-dessus?

Ce déterminant a-t-il un petit nom?
Quels sont par ailleurs les noms "officiels" de mes et ?
j'ai vu des noms comme courbure de Gauss, etc... mais n'ai pas été capable de bien faire le lien (c'était trop flou et dans un contexte trop complexe pour un mathématicien du dimanche dans mon genre)

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Il faudrait que tu précises ce que tu fais exactement.

Comme tu parles de dérivées secondes, j'ai l'impression que cela fait référence à la K courbure normale et non à la torsion.

La quantité K que tu fais allusion selon le signe distingue 3 sortes de points:

K> 0 : point elliptique (selle de cheval).
K= 0 : point parabolique.
K<0: point hyperbolique.

j'ai ma surface z=f(x,z)

et dans mon étude apparaissent les termes et , que j'ai nommé et d'une part et le terme que j'ai nommé d'autre part .

J'ai ensuite ce qui apparait dans les calculs et j'ai cru identifier qu'il pourrait s'agir du déterminant du tenseur de courbure.

m@ch3

[invite07dd2471]

le Kx c'est r, le Ky c'est t et le T c'est s ( enfin j'ai souvent vu noté comme ça, mais bon tant que tu précises de quoi tu parles c'est pareil Kx, Ky et tau

si tu m'envoie ton adresse-mail par mp je t'envoie un pdf là-dessus si tu veux

[mach3]

Ce déterminant a-t-il un petit nom?
Quels sont par ailleurs les noms "officiels" de mes et ?

personne pour les noms de ces gens là?

m@ch3

[invité576543]

Bonsoir,

Un point en selle de cheval est un point hyperbolique.

Un point elliptique est "en ballon".

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Un point elliptique est "en ballon".

Cordialement,

Bonjour,

En ballon......de rugby.