Rotation et prduit vectoriel

[invite09e593f7]

Bonjour à tous!

Me voici confronté à un exercice un peu rude, voici l'énoncé

E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. u un endomorphisme de E (non nul) conservant le produit vectoriel
u(i^j)=u(i)^u(j).
En considérant une base orthonormée montrer que u est une rotation.

Alors, comme suggérer dans l'énoncé j'ai défini une base. Et en fait je voudrais montrer que l'image de cette base orthonormée par u est une base orthonormée de E. Ainsi mon endomorphisme u est orthogonal.

Donc l'image de ma base est bien une base mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est normée. Montrer qu'un vecteur est de norme un avec les produits vectoriels, je ne voie pas comment faire.

Enfin une fois que j'ai mon endomorphisme orthogonal comment dire que c'est une rotation? Son déterminant doit être de un, mais est ce que cela suffit?

Voila si quelqu'un avait la gentillesse de m'aider.

Merci
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[invité576543]

Une piste potentielle (pas sûr), utiliser



qui est quelque chose comme (à vérifier, signe et inversion u et v...)

Cordialement,

[invite642cafc1]

Pour l'instant ce qui est montré est que (i,j,k) est envoyé sur (u(i),u(j),u(k)) base orthogonale.
Il existe donc une isométrie directe v qui envoie u(i) sur a.i, u(j) sur b.j, u(k) sur c.k, on peut même imposer a,b>0.
La composée w=vou conserve elle aussi le produit vectoriel et w(i)=ai, w(j)=bj, w(k)=ck.
En considérant maintenant w(k)=w(i^j)=w(i)^w(j), w(j)=w(k)^w(i) et w(i)=w(j)^w(k), on montre que a=1, b=1 (en utilisant qu'ils ont été choisis positifs) puis que c=1. Donc w=Id et u=v^-1 est donc une isométrie directe i.e. une rotation.