vectoriel

[inviteb3540c06]

bonsoir

j'aurai besoin d'aide pour la question suivante :

On considère le système de vecteurs ((1, 2,3), (2,3,4), (4,5,6)) . Est-il une base de ?

merci
cdlt
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[indian58]

Pour voir s'il est une base, tu peux considérer la matrice
1 2 4
2 3 5
3 4 6

Alors regarde son déterminant. S'il est non nul, c'est bon!

[Bleyblue]

Salut,

Comme tu es en dimension finie et que le cardinal de ton ensemble égale la dimension de l'espace il te suffit de montrer (ou pas ...) que ta partie est libre ou qu'elle est génératrice pour montrer qu'elle est une base (à priori montrer qu'elle est libre est plus simple)

[inviteb3540c06]

peut etre que je me trompe mais pour montrer qu'une partie est une base il faut montrer qu'elle est à la fois libre ET génératrice ,non ?

cdlt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Tu as raison, mais un théorème te dit que si tu es en dimension finie et que le cardinal de ta partie égale la dimension de ton espace alors il suffit de montrer qu'elle est libre OU génératrice pour montrer qu'elle est une base

[inviteb3540c06]

tu peux pas me donner une piste pour montrer qu'elle est libre
je débute en algèbre

merci
cdlt

[inviteb3540c06]

y a t il encore une personne éveillée sur le forum qui puisse me répondre

merci
cdlt

[inviteb3540c06]

pour la methode conseillée par indian58 :

je remarque que la 3ème ligne est égale à 2 fois la deuxième - la première,
le système n'est pas libre, le déterminant est nul,donc le systeme de vecteurs n'est pas une base de .
ais je commis une erreur ?

merci
cdlt

[Calvert]

Pour monter que tes vecteurs sont linéairement indépendants, il faut monter qu'il n'existe pas de a,b,c, tels que:



avec a,b et c tous non nuls.

[inviteb3540c06]

désolé si ca parait bête mais est ce que c juste

(1,2,3)+(2,3,4)=(3,5,7) ?

[Gwyddon]

Nickel, tu as trouvé a=b=1, c=-1

Ta solution avec la matrice est aussi juste.

[inviteb3540c06]

sauf tout mon respect Gwyddon ,je pense qu'il y a une erreur, ces coeff ne donnent pas 0 et je suis en train de chercher les bons coeff maintenant que je sais que la partie n'est pas une base de donc que les vecteurs sont liés donc qu'il existe une relation de dépendance entre les vecteurs.

cdlt

[Gwyddon]

Ah oui désolé j'ai mal lu...

Ceci dit ce que tu as écrit est juste, mais inutile

Je te laisse chercher pour les coefficients

[inviteb3540c06]

j'obtiens une relation de dépendance entre les vecteurs pour a=2 b=-3 et c=1

ais je commis une erreur ?

merci
cdlt

[inviteb3540c06]

ok merci pour tout Gwyddon,
@+
cdlt

[Gwyddon]

Bah c'est tout juste ça

Tu avais aussi a=-2, b=3, c=1

[inviteb3540c06]

faut pas m'en vouloir mais je dirai c=-1

merci encore
cdlt

[Gwyddon]

... effacé..

Oui j'ai télescopé ton calcul et le mien

Merci des corrections

[indian58]

Sinon utilise le déterminant. Dans cet exemple, c'est plus simple.

[Bleyblue]

y a t il encore une personne éveillée sur le forum qui puisse me répondre

merci
cdlt

Je suis allé me coucher juste après mon dernier message, désolé

[Gwyddon]

On lui a répondu

De toute façon il avait de la chance, j'étais sur ce fil et je suis bien décalé par rapport à vous

[inviteb3540c06]

bonjour indian 58

"Sinon utilise le déterminant. Dans cet exemple, c'est plus simple."

je l'ai traité aussi

cdlt

[invite79d10163]

l'algebre est unpeu loin pour moi mais je me lance,

Si les 3 vecteurs était une base alors une combinaison linéaire de ces vecteurs en serait une aussi.

Regarde les vecteurs (2) - (1) et (3) - (2), il sont co-linéaire donc les 3 vecteurs ne forment pas une base de R3.

[Calvert]

Si les 3 vecteurs était une base alors une combinaison linéaire de ces vecteurs en serait une aussi.

Là, je ne suis pas d'accord. Par exemple, dans R², (0,1) et (1,0) forment clairement une base.
Mais (1,1) et (-1,-1), qui sont des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs, sont colinéaires.

De manière générale, une base permet d'exprimer tous les vecteurs comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Donc également tous les vecteurs colinéaires.

[invite79d10163]

c'est clair j'ai dit une enorme betise. Il faut garder un vecteur de la base, pour R2 on pourrait prendre (0,1) et n'importe quel combinaison linéaire de (0,1), et (1,0).

[invite79d10163]

Toute fois si 3 vecteurs (1), (2) et (3) formaient une base. Alors les vecteurs combinaisons linéaires de (2) et (1) ne pourraient pas être co-linéaire à des vecteurs combinaisons linéaires de (3) et (1). Et c'est le cas dans notre exemple.

[inviteb3540c06]

[inviteb3540c06]

bonjour

c'était juste pour essayer les smileys

cdlt

[invitefb06c31d]

bonsoir

j'aurai besoin d'aide pour la question suivante :

On considère le système de vecteurs ((1, 2,3), (2,3,4), (4,5,6)) . Est-il une base de ?

merci
cdlt

SALUT
{v1,v2 & v3 forment une base ds R3(*)
ssi ils sont linéairement indépendants(**)}
pk? parce que la deuxieme condition est réalisée:le nombre de vect est égale à 3 c a d à la dim de l'espace vect R3
or (**)est équivalente à
av1+bv2+cv3=0 ==>a=b=c=0
donc il suffit de verifier cette condition
a(1,2,3)+b(2,3,4)+c(4,5,6)=0
ce qui donne
a+2b+4c=0
2a+3b+5c=0
4a+5b+6c=0

on voit que a=b=c=0
pque cette solution soit unique il faut et il suffit que
det de la matrice correspondante au syst d'équat soit non nul
à calculer et verifier

[inviteb3540c06]

bonsoir slimath merci de ta réponse
mais il faut regarder ce que j'ai fait avant ton post c.a.d lire tout le sujet

cordialement