Calcul de série

invite6374abaa · 26/03/2009, 22h57

bonjour, j'ai besoin de calculer la série :
sum[1/(t^2+n^2)]

Avec maple on obtient
[Pi*cot(Pi*t)*t-1]/(2*t^2)
mais j'aimerai en avoir une démonstration.
Quelqu'un saurait-il par où commencer?
Merci

invite57a1e779 · 26/03/2009, 23h07

De mémoire, il me semble qu'une méthode est basée sur le développement en série de Fourier de la fonction $\text{[math]}$ -périodique définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , développement que l'on évalue en $\text{[math]}$ .

invite6374abaa · 26/03/2009, 23h13

Merci
Je me met au travail...

invite6374abaa · 26/03/2009, 23h46

Envoyé par God's Breath

De mémoire, il me semble qu'une méthode est basée sur le développement en série de Fourier de la fonction $\text{[math]}$ -périodique définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , développement que l'on évalue en $\text{[math]}$ .

Sauf erreur de ma part, en calculant la série de Fourier de cette fonction, j'obtiens en x=0

1/(2*Pi)*sum( [(-1)^n*exp(2*Pi*t) - 1]*t^2 /[t^2+n^2] )

ce n'est pas tout à fait le résultat attendu, comment puis-je arriver au bout du calcul?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 27/03/2009, 00h47

Attention, la fonction que j'ai donné est discontinue en 0.
Les limites sont
– à droite de 0 : $\text{[math]}$
– à gauche de 0 : $\text{[math]}$

La somme de la série de Fourier évaluée en 0 vaut $\text{[math]}$ .

Par ailleurs, je trouve que le coefficient de Fourier en cosinus (le seul dont on ait besoin) est donné par $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

et le résultat que tu cherches :

$\text{[math]}$

avec

$\text{[math]}$

d'où le résultat final

$\text{[math]}$

invite6374abaa · 27/03/2009, 11h43

Envoyé par God's Breath

Attention, la fonction que j'ai donné est discontinue en 0.
Les limites sont
– à droite de 0 : $\text{[math]}$
– à gauche de 0 : $\text{[math]}$

La somme de la série de Fourier évaluée en 0 vaut $\text{[math]}$ .

Par ailleurs, je trouve que le coefficient de Fourier en cosinus (le seul dont on ait besoin) est donné par $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

et le résultat que tu cherches :

$\text{[math]}$

avec

$\text{[math]}$

d'où le résultat final

$\text{[math]}$

Merci beaucoup!
Je me suis trompé dans le calcul des "Ck" hier soir.
Encore merci et à bientot..

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