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Application lipschitzienne



  1. #1
    jerome201

    Application lipschitzienne

    Bonjour

    On se donne une application bijective k-lipschitzienne.
    Peut on déduire que son inverse est c-lipschitzienne pour un certain c ?
    Merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Application lipschitzienne

    Salut,

    La restriction du logarithme népérien à est bijective de dans et 1-lipschitzienne. Sa fonction réciproque l'est-elle également ?

  4. #3
    jerome201

    Re : Application lipschitzienne

    voici mon probleme
    on considére
    F : IR^2........> IR^2
    (x,y)______>(sin (y/2)- x , sin(x/2) - y )
    J'ai montré que F est un C^1- difféomorphisme de IR^2 sur F(IR^2)
    et que F(IR^2) est un ouvert ( on peut le voir comme une conséquence du théorème d'inversion locale )
    IL me faut montrer que F^-1 ( inverse de F ) est lipschitzienne mais je n'y arrive pas.
    La norme considérée est la suivante : ||(x,y)|| = |x| + |y|
    ps : j'ai montré que F est 3/2 lipschitzienne
    Merci de ton aide

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Application lipschitzienne

    Citation Envoyé par jerome201 Voir le message
    IL me faut montrer que F^-1 ( inverse de F ) est lipschitzienne mais je n'y arrive pas.
    Je tente une réponse (il y a peut-être une solution plus simple/moins fausse...) : Je pense que l'on peut s'en sortir en appliquant le théorème des accroissements finis à . Pour cela il suffit de prouver que est ouvert, convexe et que la différentielle de est bornée sur (sachant que l'on peut calculer sa matrice jacobienne à partir de celle de ).

  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Application lipschitzienne

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    et que la différentielle de est bornée sur
    Il faut lire « et que la différentielle de est bornée. ».

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jerome201

    Re : Application lipschitzienne

    F(IR^2) est ouvert car DF(x,y) est inversible pour tout (x,y) ( on apllique le théorème d'inversion local )

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  10. #7
    jerome201

    Re : Application lipschitzienne

    IL faut utiliser cette proposition :
    "Toute application de classe C^1 sur un ouvert U est localement lipschitzien"

    Résultat sorti de nul part sauf d'un bas de page de mon cours...

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Application lipschitzienne

    Citation Envoyé par jerome201 Voir le message
    F(IR^2) est ouvert car DF(x,y) est inversible pour tout (x,y) ( on apllique le théorème d'inversion local )
    Oui, on peut également dire que est l'image réciproque de l'ouvert par l'application continue .
    Citation Envoyé par jerome201 Voir le message
    IL faut utiliser cette proposition :
    "Toute application de classe C^1 sur un ouvert U est localement lipschitzien"
    Pourquoi est-ce qu'il faut utiliser cette proposition ?

    Et puis je ne vois pas comment passer de « localement lipschitzienne » à « lipschitzienne » tout court.
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 01/04/2009 à 20h17. Motif: Si je n'écris que la moitié des mots...

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