Application lipschitzienne

[invite7cd6668c]

Bonjour

On se donne une application bijective k-lipschitzienne.
Peut on déduire que son inverse est c-lipschitzienne pour un certain c ?
Merci
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[Flyingsquirrel]

Salut,

La restriction du logarithme népérien à est bijective de dans et 1-lipschitzienne. Sa fonction réciproque l'est-elle également ?

[invite7cd6668c]

voici mon probleme
on considére
F : IR^2........> IR^2
(x,y)______>(sin (y/2)- x , sin(x/2) - y )
J'ai montré que F est un C^1- difféomorphisme de IR^2 sur F(IR^2)
et que F(IR^2) est un ouvert ( on peut le voir comme une conséquence du théorème d'inversion locale )
IL me faut montrer que F^-1 ( inverse de F ) est lipschitzienne mais je n'y arrive pas.
La norme considérée est la suivante : ||(x,y)|| = |x| + |y|
ps : j'ai montré que F est 3/2 lipschitzienne
Merci de ton aide

[Flyingsquirrel]

IL me faut montrer que F^-1 ( inverse de F ) est lipschitzienne mais je n'y arrive pas.

Je tente une réponse (il y a peut-être une solution plus simple/moins fausse...) : Je pense que l'on peut s'en sortir en appliquant le théorème des accroissements finis à . Pour cela il suffit de prouver que est ouvert, convexe et que la différentielle de est bornée sur (sachant que l'on peut calculer sa matrice jacobienne à partir de celle de ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

et que la différentielle de est bornée sur

Il faut lire « et que la différentielle de est bornée. ».

[invite7cd6668c]

F(IR^2) est ouvert car DF(x,y) est inversible pour tout (x,y) ( on apllique le théorème d'inversion local )

[invite7cd6668c]

IL faut utiliser cette proposition :
"Toute application de classe C^1 sur un ouvert U est localement lipschitzien"

Résultat sorti de nul part sauf d'un bas de page de mon cours...

[Flyingsquirrel]

F(IR^2) est ouvert car DF(x,y) est inversible pour tout (x,y) ( on apllique le théorème d'inversion local )

Oui, on peut également dire que est l'image réciproque de l'ouvert par l'application continue .

IL faut utiliser cette proposition :
"Toute application de classe C^1 sur un ouvert U est localement lipschitzien"

Pourquoi est-ce qu'il faut utiliser cette proposition ?

Et puis je ne vois pas comment passer de « localement lipschitzienne » à « lipschitzienne » tout court.