DL d'integrale impropre de suites de fonctions

[inviteefb6206a]

Bonjour,
je ne sais pas si j'ai été clair dans le titre, mais il s'agit bien de faire un dl (à l'ordre 2 au moins) en 1/n d'une integrale d'une fonction de variables n et t, t étant la variable de l'integrale.
Biensur, il ne s'agit pas de la calculer et elle est impropre.
J'ai vu sur un livre une methode pour le faire à partir de l'inégalité de Taylor Young: c'est compliqué et long. Par contre, faire simplement le dl du terme dependant de n dans l'integrale, puis l'exprimer comme une somme d'integrales en sortant les termes en n donne le bon résultat.
Ma question est donc: est-ce qu'il existe une manière plus simple de justifier cette technique? est-ce que par exemple il ne suffirait pas de vérifier les hypotheses du théoreme de convergence dominée, vu que le dl semble "plus général" que le passage à la limite?
Merci!
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[invite57a1e779]

Le principe du développement limité est de travailler sur des égalités, donc de bénéficier de toutes les manipulations permises sur les égalités.

Supposons que l'on ait un développement limité de la forme :

où j'écris le dernier terme avec la notation pour indiquer qu'il s'agit d'une fonction de , et que l'on a, pour tout , .

On peut intégrer ce développement limité (ous réserve de l'existence des intégrales...) :
.

PROBLÈME : A-t-on ?

[inviteefb6206a]

Et donc ce serait sans issue?
Si oui, dans un cas plus simple ou le o(1/n) ne semble pas poser de probleme, par exemple, si j'etudie l'integrale sur ]1,+oo[ d'une fonction g comme:
g:t -> exp(ln(t)/n) * f(t) , f telle que g soit integrable sur ]1,+oo[.
A t fixé, pour n au voisinage de +oo, je peut ecrire:
exp(ln(t)/n) = 1 + ln(t)/n + 1/2*(ln(t)/n)²+o(1/n²)
Dans ce cas, le petit o a une dependance, pour n quelconque,
en ln(t)^n , et si la fonction ln(t)^n * f(t) est integrable sur ]1,+oo[
le developpement est justifié?