Fonctions C-infini

[invite947ee6e5]

Bonjour,

Je suis bloquée sur l'exercice suivant :

(les questions sont indépendantes)

1 - Montrer que toute fonction satisfaisant

pour tout
est un polynome.

2 - Soit , un fonction ayant la propriété suivante :
la composée est pour tout homéomorphisme .
Montrer que est une fonction constante.


Pour la question 1, je suis partie en donnant le développement en série entière de :

et en essayant de prouver que les coefficients deviennent nuls à partir d'un certain rang ()
Mais je ne suis pas sure que mon raisonnement est fondé : j'ai supposé que avait un développement en série entière ( définie sur et à valeurs dans est analytique partout, non ?)
Aussi est-ce suffisant de procéder comme ça ?



Pour la question 2, une indication est donnée :
"On pourra trouver un homéomorphisme tel que
et ensuite substituer par la fonction inverse de .
Utiliser ensuite les règles de différentiation des fonctions composées pour déduire que toutes les dérivées partielles s'annulent en .
Là, mon problème est de trouver l'homéomorphisme


Des idées ?

Merci.
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[invitec317278e]

Pour le 1), ça doit être de la formule de Taylor, à vue d'oeil.

et je suppose que le N que tu mets en puissance dans la dérivée partielle signifie "il existe N tel que pour tout entier supérieur à N, on a..." ?

[invitec317278e]

pour la 2, si f et h vont toutes les 2 de r^n dans r, je vois mal comment définir la composée...

[invite947ee6e5]

pour la 2, si f et h vont toutes les 2 de r^n dans r, je vois mal comment définir la composée...

En effet, l'homeomorphisme va de dans et non dans comme je l'avais ecrit. C'est effectivement plus facile pour definir la composee avec . Et puis c'est aussi plus logique puisque l'indication dit de substituer par la fonction inverse de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Prends g(x_1,...,x_n) = (x_1^3,...,x_n^3).