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fonction convexe



  1. #1
    invité786754634567890

    fonction convexe


    ------

    Bonjour,
    je cherche une méthode élémentaire pour montrer que la fonction est convexe pour .
    Pour , c'est facile puisqu'elle est de classe a dérivée seconde strictement positive. Mais pour , c'est moins clair.
    Merci d'avance !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    J0ke

    Re : fonction convexe

    Haileau

    Soit f(x) = |x|^p
    Soit L dans [0;1] et x,y dans R

    f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)

    Mais comme 0 <= L <= 1
    On a bien L^p <= L
    Pareil étant donné que 0 <= 1-L <= 1

    Et on peut remajorer tout le bazar pour avoir l'inégalité de convexité
    Tout ça avec p > 0.
    Ce message s'auto-détruira à la fermeture de la fenêtre...

  4. #3
    invité786754634567890

    Re : fonction convexe

    merci bcp !

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : fonction convexe

    Citation Envoyé par J0ke Voir le message
    |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)
    Euh avec , , et cette inégalité donne c'est-à-dire ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garnet

    Re : fonction convexe

    Citation Envoyé par xav75 Voir le message
    Bonjour,
    je cherche une méthode élémentaire pour montrer que la fonction est convexe pour .
    Pour , c'est facile puisqu'elle est de classe a dérivée seconde strictement positive. Mais pour , c'est moins clair.
    Merci d'avance !
    Elle est aussi C^2 pour p <2, et en 0 c'est pas dur de montrer que la fonction pente est croissante.

  8. #6
    J0ke

    Re : fonction convexe

    Oups :/
    Bah j'ai merdé où ?
    Ce message s'auto-détruira à la fermeture de la fenêtre...

  9. Publicité
  10. #7
    God's Breath

    Re : fonction convexe

    Bonjour,

    Citation Envoyé par J0ke Voir le message
    Soit f(x) = |x|^p
    Soit L dans [0;1] et x,y dans R

    f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)
    Cette inégalité est en fait , c'est-à-dire, puisque est multiplicative, .
    Tu écris donc que est sous-multiplicative, ce qui est faux.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    J0ke

    Re : fonction convexe

    Oui mais f(L) = L^p

    Et L^p <= L puise que 0 <= L <= 1 non ?
    Ce message s'auto-détruira à la fermeture de la fenêtre...

  12. #9
    God's Breath

    Re : fonction convexe

    Citation Envoyé par J0ke Voir le message
    f(Lx + (1-L)y) = |Lx + (1-L)y|^p <= L^p.f(x) + (1-L)^p.f(y)
    Cette inégalité est fausse.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #10
    J0ke

    Re : fonction convexe

    Ah oki
    J'vois mieux
    Je persistais...

    Merci
    Ce message s'auto-détruira à la fermeture de la fenêtre...

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