[exo] Limites inférieures est supérieurs d'une suite

[invitefb652165]

Bonjour,

La suite (1/2 , 3/2 , 1/3 , 4/3 , 1/4 , 5/4 , 1/5 , 6/5 , ...) admet une limite inférieure ,0 et une limite supérieure, 1. Comment le vérifier ? J ai essayé d'appliquer la définition des limites sup et inf mais je n'arrive pas à vérifier si les 2 limites sont bonnes ..

Merci Merci
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[invitec317278e]

Je suppose que ces limites sup et inf dont tu parles sont les les valeurs d'adhérences extrêmes.

1-on montre que 1 est valeur d'adhérence en montrant que la suite 3/2,4/3,5/4, ... tend vers 1 (trivial)
2-on montre que c'est la plus grande : soit x strictement supérieur à 1. alors, soit epsilon suffisamment petit :
-comme la suite extraite 1/2,13,1/4... est décroissante, elle ne dépassera jamais 1.
-comme la suite extraite 3/2,4/3,5/4, ...tend vers 1, a partir d'un certain rang, elle sera en dessous de x-epsilon.
-comme ces suites forment une partition des termes de la suite, à partir d'un certain rang, aucun terme de la suite n'est plus grand que x-epsilon, et donc, x n'est pas valeur d'adhérence.

de même pour 0