[exo] limite de fonction ?

[invitefb652165]

Bonjour,

Je ne sais pas comment procéder pour calculer la limite (tendant vers 0 et (0,0) respectivement) des fonctions suivantes :

*Soit f : R --> R définie par
f(x) = 1 si x ≠ 0
= 0 si x = 0

*Soit f : R²/{0} --> R définie par
f(x,y) = xy/((x²+y²)^1/2)

Merci de votre aide, il ne me faut pas de réponse il me faudrait juste un cop de pouce pour savoir faire ca... Merci infiniment
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[Thorin]

Quelle est exactement la définition de la limite que tu veux employer ?

[invitefb652165]

Re

Soient f : A ⊂ R^n --> R^m et a ∈ adh A. On dit que la limite f(x) existe lorsque x --> a s'il existe un element b ∈ R^m tel que la condition suivante est satisfaite : pour tout ε > 0 , ∃ δ > 0 tel que x ∈ A et ||x-a|| < δ => ||f(x)-b|| < ε.

Pour la première limite je dois savoir si elle satisfait à cette définition.
Pour la deuxieme je dois prouver qu'elle vaut 0.
Comment faire , je suis néophyte en la matière.

[ericcc]

Je pense que tu peux rapidement réaliser que la première limite est 1 : quel que soit l'intervalle autour de zéro |f(x)-1|=0; mais la fonction n'est pas continue en zéro
Pour la deuxième limite le plus simple est de passer en polaire : pose x=rcos(t) et y=rsin(t), en faisant tendre r vers zéro tu trouveras la limite. Rappelle toi que |sin(u)|<1

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

JPour la deuxième limite le plus simple est de passer en polaire : pose x=rcos(t) et y=rsin(t), en faisant tendre r vers zéro tu trouveras la limite.

Le passage en polaires est une façon rapide de retrouver l'inégalité , et par suite la majoration qui permet de mettre en place la définition de la limite en .

Pour la première focntion, tu as :
si
si
Il sera difficile d'avoir pour tout et tout tel que...

[ericcc]

GB : dans le premier cas on a bien |f(x)-1|=0 pour tout x différent de 0, donc la limite à droite et à gauche de f en zéro est 1, non ?

[Thorin]

La limite à droite, la limite à gauche, oui ; mais au vu de la réponse Big Bang Theory quand je lui ai demandé la définition qu'il voulait employer, cette fonction n'admet pas de limite en 0.

[invitefb652165]

Merci a tous ,
La limite de la premiere fonction n'existe pas mais je ne sais pas comment le démontrer. Par contre pour la deuxieme j ai compri (plus ou moins).

Quelqu'un a une idée en tenant compte de la définition donnée plus haut ?

Merci

[invitefb652165]

Vu de la réponse Big Bang Theory quand je lui ai demandé la définition qu'il voulait employer, cette fonction n'admet pas de limite en 0.

Comment peux tu affirmer ca par rapport a la definition ?

[phys4]

Si je peux me permettre.
D'après la définition donnée de la limite, la valeur x=0 doit être prise en compte dans l'intervalle. Par conséquent nous pourrons avoir f(x) = 0 ou f(x) = 1 si x < delta. Si petit que soit l'intervall autour de zéro, ces deux valeurs restent possibles, donc la limite n'existe pas.
D'accord ou pas d'accord ?