[exo] limite de fonction ?
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[exo] limite de fonction ?



  1. #1
    invitefb652165

    Question [exo] limite de fonction ?


    ------

    Bonjour,

    Je ne sais pas comment procéder pour calculer la limite (tendant vers 0 et (0,0) respectivement) des fonctions suivantes :

    *Soit f : R --> R définie par
    f(x) = 1 si x ≠ 0
    = 0 si x = 0

    *Soit f : R²/{0} --> R définie par
    f(x,y) = xy/((x²+y²)^1/2)

    Merci de votre aide, il ne me faut pas de réponse il me faudrait juste un cop de pouce pour savoir faire ca... Merci infiniment

    -----

  2. #2
    invitec317278e

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Quelle est exactement la définition de la limite que tu veux employer ?

  3. #3
    invitefb652165

    Exclamation Re : [exo] limite de fonction ?

    Re

    Soient f : A ⊂ R^n --> R^m et a ∈ adh A. On dit que la limite f(x) existe lorsque x --> a s'il existe un element b ∈ R^m tel que la condition suivante est satisfaite : pour tout ε > 0 , ∃ δ > 0 tel que x ∈ A et ||x-a|| < δ => ||f(x)-b|| < ε.

    Pour la première limite je dois savoir si elle satisfait à cette définition.
    Pour la deuxieme je dois prouver qu'elle vaut 0.
    Comment faire , je suis néophyte en la matière.

  4. #4
    inviteaf1870ed

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Je pense que tu peux rapidement réaliser que la première limite est 1 : quel que soit l'intervalle autour de zéro |f(x)-1|=0; mais la fonction n'est pas continue en zéro
    Pour la deuxième limite le plus simple est de passer en polaire : pose x=rcos(t) et y=rsin(t), en faisant tendre r vers zéro tu trouveras la limite. Rappelle toi que |sin(u)|<1

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite57a1e779

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    JPour la deuxième limite le plus simple est de passer en polaire : pose x=rcos(t) et y=rsin(t), en faisant tendre r vers zéro tu trouveras la limite.
    Le passage en polaires est une façon rapide de retrouver l'inégalité , et par suite la majoration qui permet de mettre en place la définition de la limite en .

    Pour la première focntion, tu as :
    si
    si
    Il sera difficile d'avoir pour tout et tout tel que...

  7. #6
    inviteaf1870ed

    Re : [exo] limite de fonction ?

    GB : dans le premier cas on a bien |f(x)-1|=0 pour tout x différent de 0, donc la limite à droite et à gauche de f en zéro est 1, non ?

  8. #7
    invitec317278e

    Re : [exo] limite de fonction ?

    La limite à droite, la limite à gauche, oui ; mais au vu de la réponse Big Bang Theory quand je lui ai demandé la définition qu'il voulait employer, cette fonction n'admet pas de limite en 0.

  9. #8
    invitefb652165

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Merci a tous ,
    La limite de la premiere fonction n'existe pas mais je ne sais pas comment le démontrer. Par contre pour la deuxieme j ai compri (plus ou moins).

    Quelqu'un a une idée en tenant compte de la définition donnée plus haut ?

    Merci

  10. #9
    invitefb652165

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Vu de la réponse Big Bang Theory quand je lui ai demandé la définition qu'il voulait employer, cette fonction n'admet pas de limite en 0.

    Comment peux tu affirmer ca par rapport a la definition ?

  11. #10
    phys4

    Re : [exo] limite de fonction ?

    Si je peux me permettre.
    D'après la définition donnée de la limite, la valeur x=0 doit être prise en compte dans l'intervalle. Par conséquent nous pourrons avoir f(x) = 0 ou f(x) = 1 si x < delta. Si petit que soit l'intervall autour de zéro, ces deux valeurs restent possibles, donc la limite n'existe pas.
    D'accord ou pas d'accord ?
    Comprendre c'est être capable de faire.

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