cardinal d'une base

[invite8ffc4e38]

bonjour!
je me demande ce qu'est exactement le cardinal d'une base. Je sais seulement que le cardinal d'une base est la dimension de son sous espace vectoriel mais ça ne m'avance pas beaucoup. Et beaucoup de questions portent là dessus, mais je n'arrive pas à visualiser à quoi cela correspond!
merci beaucoup!
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Sais-tu déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel à partir d'un exemple simple ?

[Hamb]

le cardinal d'une base c'est le nombre de vecteurs que comporte la base.

[invite8ffc4e38]

ah ok! merci Hamb C'était pas trop sorcier en fait^^
mais mon prof nous a juste plaqué les définitions au tableau sans donner la moindre explication...
Merciiiiiiiiiiiiii!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ffc4e38]

Sais-tu déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel à partir d'un exemple simple ?

non, mais maintenant je crois que j'ai compris^^

[invitebe0cd90e]

Il faut remettre les choses dans l'ordre :

- Comme l'a dit Hamb, comme pour n'importe quel ensemble fini, le cardinal d'une base est le nombre d'éléments qu'elle contient.
- Ensuite, pour un espace vectoriel (de dimension fini) donné V, on peut prouver que toutes les bases de V ont meme cardinal.
- Autrement dit, le cardinal des bases dépend juste de V, pas des bases qu'on choisit, donc c'est vraiment une propriété de V.
- On appelle ce nombre la dimension de V. C'est donc la definition de la dimension qui provient de cette notion de cardinal d'une base, pas le contraire.

[Thorin]

Il faut remettre les choses dans l'ordre :

- Comme l'a dit Hamb, comme pour n'importe quel ensemble fini, le cardinal d'une base est le nombre d'éléments qu'elle contient.
- Ensuite, pour un espace vectoriel (de dimension fini) donné V, on peut prouver que toutes les bases de V ont meme cardinal.
- Autrement dit, le cardinal des bases dépend juste de V, pas des bases qu'on choisit, donc c'est vraiment une propriété de V.
- On appelle ce nombre la dimension de V. C'est donc la definition de la dimension qui provient de cette notion de cardinal d'une base, pas le contraire.

afin de ne pas employer le terme "dimension finie" au 2ième tiret, alors que la dimension n'est pas encore définie ( ), je remplacerais le 2ième tiret par :

-Ensuite, pour un espace vectoriel donné V, s'il existe une base de V possédant un nombre fini d'éléments, on peut prouver que toutes les bases possèdent un nombre fini d'éléments et ont le même cardinal

[invitebe0cd90e]

Exact, j'ai hesité a le mettre mais comme c'etait informel. Apres coup je me suis dit que j'aurais pu mettre "finiment engendré", mais je ne peux plus modifier

[Médiat]

Ensuite, pour un espace vectoriel donné V, s'il existe une base de V possédant un nombre fini d'éléments, on peut prouver que toutes les bases possèdent un nombre fini d'éléments et ont le même cardinal

Est-ce que l'on ne peut pas dire

- Ensuite, pour un espace vectoriel donné V, on peut prouver que toutes les bases ont le même cardinal

Cela évite de particularisé le cas fini.

[Thorin]

En cours, on a défini uniquement le cardinal d'un ensemble fini, donc j'ai pas osé