continuité

[invite83c1e388]

bonjour
svp 1e tite question pour la continuité uniforme sur IR²:
si f:IR²----->IR
(X,Y)---->(X0,Y0) c'est a dire:
qlq soit 3<0 il existe N>0: la valeur absolue de (X,Y)-(X0,Y0)<N implique la valeur absolue de f(X,Y)-f(X0,Y0)< 3.
equivalent la valeur absolue X-X0<N ey la valeur absolue de Y-Y0<N implique la valeur absolue de f(X,Y)-f(X0,Y0)< 3.
et merci pour votre aide
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[KerLannais]

Slt

Tu ne peut pas dire la valeur absolue de (x,y)-(x_0,y_0) ça n'existe pas il faut choisir une norme, mais sur elles sont toutes équivalentes. Les plus classiques sont:



mais tu peut prendre toute application N qui à un vecteur (x,y) de associe un nombre réel positif et qui vérifie:
1- ssi
2-
3-

quelle que soit la norme que tu choisit tu obtiendra toujours une définition équivalente de la limite:

en particulier si tu choisit cela revient à dire qu'il existe un tel que si et si alors . La réponse à ta question est donc oui, et la continuité est uniforme si le eta ne dépend que du epsilon et ne dépend pas de x0 et y0.