Quadrature d'un cercle "foetus" !

[martini_bird]

Salut SPH,

tu verras dans tes calculs que tu ne feras apparaître que des additions, soustractions, multiplications, divisions et radicaux carrés.

En fait, les nombres constructibles à la règle et au compas sont des nombres obtenus par combinaison de ces symboles et des nombres entiers.
Par exemple, est constructible à la règle et au compas, mais pas .

Or le fait que pi soit un nombre transcendant interdit précisément que pi s'écrive de cette manière. Je ne doute pas de ton sérieux et de ton honnêteté, mais une figure est toujours imparfaite.

A vrai dire, le nombre pi n'existe pas en tant que tel dans la nature car un cercle mathématique n'existe que dans nos esprits en tant que représentation idéale.

Enfin, je te laisse à tes calculs; mais ne t'acharne pas trop et sauvegarde ta santé mentale, puisqu'on te dit que ce n'est pas possible.

Cordialement.
-----

[SPH]

Moi qui pensais trouver la reponse a ma question sur l'intersection de 2 segments, c'est raté.
Mais comme je me suis auto persuadé que j'avais trouvé, je ne VEUX PAS désarmer.
Aussi, apres un repositionnement sur le repere orthonormé, j'ai naturellement ceci :
un segment AB : A(0,0) et B(Bx,By)
un segment CD : C(Cx,Cy) et D(Dx,0)

J'aimerais tellement que l'un d'entre vous me reponde ceci :

Le point d'intersection (qu'on appelera E(Ex,Ey) ) des segments est :
Ex= blablablabla... l'equation quoi...
Ey= blablabla... l'equation quoi...

Je suis trop trop trop crevé pour reflechir là (je suis insomniaque !)

[yat]

Bobby t'a pourtant donné la réponse complète. Tu as déjà l'expression de x (de Ex, en l'occurence), et pour y c'ets la même chose en remplacant les x par des y et réciproquement.

Le cas que tu donnes est un peu pus simple : l'équation de (AB) est tout naturellement y=By*x/Bx.

Soit y=ax+b l'équation de (CD). On a :
Cy=aCx+b et 0=aDx+b.

Tu soustrais les deux lignes et tu obtiens Cy=a(Cx-Dx), soit a=Cy/(Cx-Dx)

De la deuxième ligne on déduite b=-aDx, soit b=-CyDx/(Cx-Dx)

Il reste donc à trouver Ex et Ey tel que Ey=Ex*By/Bx et Ey=Ex*Cy/(Cx-Dx)-CyDx/(Cx-Dx).

Là encore, tu soustrais les deux lignes pour obtenir Ex, puis tu prends une des deux lignes au pif pour en déduire Ey. C'est très rébarbatif sur les expressions littérales, mais si tu remplaces dès que possible par les valeurs numériques, c'est tout simple.

[martini_bird]

Le point d'intersection (qu'on appelera E(Ex,Ey) ) des segments est :
Ex= blablablabla... l'equation quoi...
Ey= blablabla... l'equation quoi...

Sur ta demande:

Equation de AB:
Equation de CD: (avec Cx#Dx)

Intersection:

[SPH]

Bon, j'ai calculé ma fameuse valeur !
Alors, ne sachant pas si mon ordi se perd en approximation (car les equations sont complexes et je programme ça en basic), je vous demande si quelqu'un a deja entendu parlé d'une valeur PI (trouvé dans le passé) qui serait egale à "3.144066" ?
Je demande ça car je trouve cette valeur (dont l'approximation est peut etre faussée par mon language basic)

[yat]

Bon, j'ai calculé ma fameuse valeur !
Alors, ne sachant pas si mon ordi se perd en approximation (car les equations sont complexes et je programme ça en basic), je vous demande si quelqu'un a deja entendu parlé d'une valeur PI (trouvé dans le passé) qui serait egale à "3.144066" ?
Je demande ça car je trouve cette valeur (dont l'approximation est peut etre faussée par mon language basic)

Dommage...
Normalement, ce que tu obtiens à la fin n'est pas une équation, mais directement une expression. Pour en obtenir la valeur, tu peux utiliser un tableur, ou directement la calculatrice windows.
Mais j'ai peur qu'une telle erreur ne puisse pas être due aux imprécisions des calculs.

Alors tu vas pouvoir nous donner la construction ?

P.S : la célèbre approximation 22/7 est plus proche de pi que la valeur que tu annonces

[Rincevent]

je suis pas certain que tu aies la meilleure approximation possible.... ni que ça soit lié à des erreurs numériques provenant de ton code...

http://trucsmaths.free.fr/Pi.htm

[invite73192618]

Perdu! La valeur exacte est 3.144067! Ca doit être basic qui fausse tout

Bon plaisanterie à part, l'intérêt de ce poste, c'est qu'on voit si ta méthode constitue une approximation efficace (un autre serait de te faire comprendre que la quadrature du cercle est impossible, mais là je crois que tout le monde désespère...).

Alors voudrais-tu nous expliquer ta méthode qu'on en finisse?

PS zut doublé

[SPH]

Alors voudrais-tu nous expliquer ta méthode qu'on en finisse?

Pas de probleme, je m'incline.
Je pensais que PI utilisé contre lui meme pourrait révéler sa valeur. Je voyais le point E (provoqué par PI) comme une valeur un peu "magique".

=> MA CONSTRUCTION EN IMAGE <=

Quand on trace la droite AE, elle coupe en B la corde CD de l'arc CD. Je pensais donc que le segment AB serait strictement égal a l'arc CD (soit PI/4)

[erik]

Ah enfin, voila la figure !

Bon si on pose rayon du cercle=1, et qu'on prend un repère orthonormé d'origine A, on a les coordonnées suivantes:
A(0,0), C(1,1), D(0,2) et E(5/2,sqrt(3)/2)

Aucun de ces points ne fait intervenir la valeur de Pi, il n'y a donc pas de raison de la distance AB fasse apparaitre PI, Et on trouve bien AB=3.1440576/4 et des brouettes...

Erik

[erik]

En fait t'as réussi à construire le nombre

[Quinto]

Dont le quadruple vaut 3.144065767 et des poussières.
Pas étonnant d'etre troublé, même avec un cercle de rayon 2metres...

[matthias]

Et maintenant voici comment construire un rationnel (par exemple 22/7 ou 355/113 qui sont de meilleures approximations de) :
si on veut construire p/q avec p et q entiers non nuls,
prendre 2 droites sécantes
soit O le point d'intersection
soit A un point de la première droite différent de O
soit B1 un point de la deuxième droite différent de O
construit B2, B3, ..., Bq sur la deuxième droite de manière à ce que OB1 = B1B2 = B2B3 = ... = Bq-1Bq
trace la droite BqA et ses parallèles passant par B1, B2, ...
tu as découpé OA en q parties égales.
donc tu as construit 1/q
pour obtenir p/q c'est évident.

[C.B.]

Oui, mais là il faut quand même tracer moins cercles droite pour avoir l'aproximation.

[SPH]

Aucun de ces points ne fait intervenir la valeur de Pi, il n'y a donc pas de raison de la distance AB fasse apparaitre PI

....Ce qui réanime subitement tout espoir !!

Bon, penses tu que le segment que je vais décrire fait intervenir PI ? :
Segment perpendiculaire à AD (on va dire 'F') et passant par le point d'intersection des 2 cercles ('G')

[matthias]

Le but était de fournir la construction la conceptuellement simple et la plus facile à décrire. Pas la plus efficace, ni la plus facile à réaliser
Ceci dit, cela soulève une question intéressante.
On peut définir une meilleure approximation rationnelle à un certain ordre d'un nombre (avec un dénominateur inférieur à une borne fixée)
On doit donc aussi pouvoir définir une meilleure approximation constructible (avec le nombre de traits et d'arcs de cercle limité).
Quelqu'un a déjà entendu parlé de travaux là-dessus ?

[SPH]

Apres l'utilisation de 2 logiciels, il semble que PI apparaisse dans ma construction. Mais mes logiciels n'ont pas assez de chiffres apres la virgule pour me dire avec quel degré de precision je le trace.
>>>>> CONSTRUCTION <<<<<
A droite, il y a un Zoom montrant un point G d'où EG=1/4*EF
La droite AG coupe (on va dire en Z) la corde XY
Et bien le segment AZ devrait etre egal à PI/4
Qqun pour calculer ce mystere mysterieux ?

[matthias]

non, ça devient lourd ...

[martini_bird]

Et bien le segment AZ devrait etre egal à PI/4

SPH, tu trouveras peu de personne pour faire les calculs à ta place, et pour cause, il a été démontré par Lindemann qu'aucune construction à la règle et au compas puisse déterminer un segment de longueur exactement égale à .

Par conséquent, il te reste deux solutions:
- la première (recommandée) d'effectuer les calculs pour te rendre compte que tu n'obtiens qu'une valeur approchée (je te rappelle que est le rapport de la circonférence au rayon d'un cercle).

- la seconde, cesser de t'abîmer la santé mentale et physique à vouloir prouver quelque chose de faux!

En tout état de cause, je te prie de pardonner toutes les personnes du forum qui font plus confiance à la démonstration de Lindemann qu'à tes constructions.

Cordialement.

[invite73192618]

SPH, tu trouveras peu de personne pour faire les calculs à ta place,

Moi je veux bien, alors après intense concentration intellectuelle, multiples cafés et écriture au tableau noir, je trouves qu'

En fait t'as réussi à construire le nombre

...puisque ta seconde figure est la même que la première.

[invite73192618]

ta seconde figure est la même que la première.

j'ai encore raté une occasion de me taire...

Alors pour me rattraper (méthode bucheron: que les puristes me pardonnent, il doit y avoir plus élégant):

A(0,0), X(1,1), Y(0,2), B(5/2,sqrt(3)/2), B'(5/2,0)

ABB' triangle rectangle en B'
cos(A)=AB'/AB; AB=sqrt(28/4); AB'=5/2
=> angle A= 19,1; angle D=70,9
AD=3; sin(A)=ED/AD
=> ED=0,98198
FE=1-ED; EG=FE/4; DG=ED+EG
=> DG=0,98648
soit DGG' triangle rectangle en G', avec G' d'ordonnée 0 (sur AD)
cos(D)=G'D/DG; sin(D)=G'G/DG
=> G'D=0,32279; G'G=0,93217

d'où G(0,93217; 2,67720)
d'où Z(0,51653, 1,48347)
d'où AZ= 1,57082= 3,14164/2

Au passage il y avait une petite erreur dans le post d'erik: AB=3.1440576/2

Au total, la nouvelle méthode de SPH fait une erreur d'environ 5.4 10-5 par rapport à Pi, c'est à dire de 54 microns sur un cercle de 1 mètre de diamètre... pas mal du tout

[SPH]

Au total, la nouvelle méthode de SPH fait une erreur d'environ 5.4 10-5 par rapport à Pi, c'est à dire de 54 microns sur un cercle de 1 mètre de diamètre... pas mal du tout

M'ciiiii

J'ai une bonne nouvelle : je ne vous demanderais plus de faire mes calculs car j'utilise un logiciel now.
Finalement, le theme "quadrature foetus" porte bien son nom puisque dorenavent, je chercherais a toujours affiner PI (en ayant compris qu'il n'est pas PARFAITEMENT tracable)

[martini_bird]

je chercherais a toujours affiner PI (en ayant compris qu'il n'est pas PARFAITEMENT tracable)

Bonjour,

ma foi, je suis bien content de lire cette phrase!

Bonne continuation.

Ps: en passant, connais-tu l'excellent site de Boris Gourévitch sur le nombre ?

[SPH]

Ps: en passant, connais-tu l'excellent site de Boris Gourévitch sur le nombre ?

NON, je ne connaissais pas mais ca a l'air tres nice.
Je copie colle ce qui m'a impressionné sur la page d'accueil :

1 241 100 000 000 décimales de Pi sont maintenant connues !

[invite14ea0d5b]

NON, je ne connaissais pas mais ca a l'air tres nice.
Je copie colle ce qui m'a impressionné sur la page d'accueil :

1 241 100 000 000 décimales de Pi sont maintenant connues !

A quand la construction qui possède le même nombre de décimales exactes ?

[invitef785d67f]

Bonjour Messieurs,

Je viens de découvrir et de lire avec beaucoup d'intérêt vos travaux et votre quête passionnée de Pi. Très instructif!
Pour ma part, je pense avoir découvert une nouvelle approche de la quadrature du cercle, avec bien sûr, sa construction à l'aide seulement d'une règle non graduée et d'un compas...
Mais avant d'aller plus loin dans ma révélation, quelques réflexions :
Pi étant transcendant.., donc toutes les superficies de cercles qu'il engendre le sont aussi...
Lindemann, Gallois et les autres avaient donc tous raison quant ils décrétaient qu' il est impossible de construire des carrés cartésiens dont la superficie des cercles soient transcendantes... D'où ma conclusion, il ne restait plus qu'à trouver des carrés dont la superficie soit elle aussi transcendante...

Bien à vous, Messieurs.

Le Scorpion Fou

[martini_bird]

Bonjour et bienvenue!

Lindemann, Gallois et les autres avaient donc tous raison quant ils décrétaient qu' il est impossible de construire des carrés cartésiens dont la superficie des cercles soient transcendantes...

Qu'entends-tu par "carrés cartésiens"?

D'où ma conclusion, il ne restait plus qu'à trouver des carrés dont la superficie soit elle aussi transcendante...

Mais dont le coté sera lui-même transcendant, et donc inconstructible...

Cordialement.

[SPH]

Bonjour Messieurs,
Pi étant transcendant.., donc toutes les superficies de cercles qu'il engendre le sont aussi...

Hmmm, ne serait ce pas plus exactement les perimetres et les aires qui sont transendentaux ? (sorry but j'arrive pas a savoir ce que tu veux dire pas "superficie")

Par contre, moi, je renverserais le probleme et me demande si en eliminant tout ce qui n'est pas trancendental, on obtiendrais pas une serie de trous trancendentaux avec PI dans l'un d'eux !!

[Bobby]

Bonjour Messieurs,
Pi étant transcendant.., donc toutes les superficies de cercles qu'il engendre le sont aussi...
Le Scorpion Fou

Non, si tu prends un cercle de rayon alors l'aire de ce cercle sera 1.

Le problème réside une nouvelle fois à construire , je dis une nouvelle fois car dans l'énoncé 'original' il est question de tracer un carré d'aire .
En prenant on obtient alors un cercle dont l'aire est . Un tel carré serait donc de côté .
C'est ce qu'affirmait disait Martini_bird en disant que le même problème existe dans les deux sens.

[SPH]

Hmmmm, laissons le scorpion fou nous exposer sa theorie...
Pour ce qui est de ma derniere construction, je trouve :
pi=3.14164616768696
Il est donc 1.00001703406618 fois trop grand.

Je vous prepare mieux....