primitive par changement de variable

[invitedad19d55]

Bonjours a tous, je suis bloqués dans le calcul de 2 primitive où il faut appliqué un changement de variable.

En fait mon probléme est que à partir du moment ou on ne me donne pas le changment de variable a effectuer, je n'arrive pas a avancé.

Voici les primitives en question

x²*Racine de(1+x^3)
arcsinus² (x)

Voila, comme je le disais, j'arrive a appliquer la methode, mais je n'arrive pas a trouvé le changement de variable...

Pouvez vous m'aidez à le trouver ?
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[invite551c2897]

Bonjour.

x²*Racine de(1+x^3)

Tu peux poser u = Racine(1+x^3)
...

[invitedad19d55]

F=int(x²*Racine(1+x^3)dx)

alors si on prend u=Racine(1+x^3)

dx= (3t²)/(2*u) dt

l'integrale devient

F=u²*Racine(1+u^3)*(3t²)/(2*u)dt

alors
u² = 1+t^3
u^3=u²*u=(1+t^3)*Racine(1+t^3) =(x^3+1)^(3/2)

Donc
F=int((3t²)/(2*u) * [(1+t^3)*Racine(1+(t^3+1)^(3/2))]dt

là par contre je n'arrive pas a avancer...

[invitedad19d55]

F=int(x²*Racine(1+x^3)dx)

alors si on prend u=

dx= (3t²)/(2*u) dt

l'integrale devient

F=u²*Racine(1+u^3)*(3t²)/(2*u)dt

alors
u² = 1+t^3
u^3=u²*u=(1+t^3)*Racine(1+t^3) =(x^3+1)^(3/2)

Donc
F=int((3t²)/(2*u) * [(1+t^3)*Racine(1+(t^3+1)^(3/2))]dt

là par contre je n'arrive pas a avancer...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut,

F=int(x²*Racine(1+x^3)dx)

alors si on prend u=Racine(1+x^3)

dx= (3t²)/(2*u) dt

Je ne comprends pas d'où vient ce . (?)

Si l'on pose on a donc puis

[invitedad19d55]

j'ai remarquer que j'ai tout faux, alors je corrige

Si u = Racine(1+x^3) alors x = (u²-1)^(1/3)

dx = (2u)/(3(u²-1)^(2/3)) du

F = int([x²*(1+x^3)^(1/2)] dx

x² = (u²-1)^(2/3)
x^3 = u²-1

F = int([(u²-1)^(2/3)*(1+u²-1)^(1/2)] * (2u)/(3(u²-1)^(2/3)) du

on simplifie en "suprimant" les (u²-1)^(2/3) et (1+u²-1)^(1/2) = u donc

F = int([(2u²)/3 du])

jusque la, c'est juste ?

[invitedad19d55]

à 1 minute pret ^^

la primitive de (2u²)/3 est (2u^3/9) + Cst

maintenant on remplance u par Racine(1+x^3) est on a :

[( 2 * (x^3+1)^(3/2) ]/9 + Cst = (2/9) * (x^3+1)^(3/2) + Cst

Bon aprés, il faut que je mette de l'ordre sur ma copie, mais pourquois, immediatement on a choisis u = racine(1 + x^3) ?

[Flyingsquirrel]

la primitive de (2u²)/3 est (2u^3/9) + Cst

La primitive ?

maintenant on remplance u par Racine(1+x^3) est on a :

[( 2 * (x^3+1)^(3/2) ]/9 + Cst = (2/9) * (x^3+1)^(3/2) + Cst

D'accord.

Bon aprés, il faut que je mette de l'ordre sur ma copie, mais pourquois, immediatement on a choisis u = racine(1 + x^3) ?

Je ne sais pas.

Personnellement j'aurais plutôt posé car on sait qu'à une constante multiplicative près, la dérivée de est . L'expression est donc de la forme (toujours à une constante multiplicative près), chose que l'on sait l'intégrer.

[invitedad19d55]

effectivement, avec u = 1 + x^3, je vois beaucoups mieux le raisonement de départ

Pour arcsin x au carré par contre, je ne vois toujours pas quois prendre comme u...

[Flyingsquirrel]

Essaie de trouver un changement de variable qui fait disparaitre l'arcsinus.

Par exemple :

 Cliquez pour afficher

[invitedad19d55]

j'avais déja penser à u = arcsin x mais j'étais bloquer. Je te montre :

u = arcsin x alors x = sin u , u doit etre sur l'intervalle [-pie/2 ; pie/2]
on en déduit, dx = cos u du donc

F=int( (acrsin x)² dx

F = int( (arcsin(sin u))² * cos u du

à partir de la je bloque, je sais que sin(arcsin x) = x mais arcsin(sin x) n'est pas egale à x.... (l'idée que j'avais, c'étais par la suite trouver quellque chose de la forme u² * cos u, qui doit etre facil a intégré avec une integration par partie...)

[Flyingsquirrel]

u = arcsin x alors x = sin u , u doit etre sur l'intervalle [-pie/2 ; pie/2]
on en déduit, dx = cos u du donc

F=int( (acrsin x)² dx

F = int( (arcsin(sin u))² * cos u du

à partir de la je bloque, je sais que sin(arcsin x) = x mais arcsin(sin x) n'est pas egale à x....

Si tu choisis de poser on a effectivement et tu peux remplacer directement par dans l'intégrale, sans passer par l'intermédiaire , il n'y a pas de question existentielle à se poser.

Dans ce cas précis comme on a l'identité est est effectivement vraie car renvoie le réel de dont le sinus vaut ... ce réel est donc .

(l'idée que j'avais, c'étais par la suite trouver quellque chose de la forme u² * cos u, qui doit etre facil a intégré avec une integration par partie...)

Oui.

J'en profite pour signaler un outil utile pour vérifier ses calculs de primitives : l'integrator.

[invitedad19d55]

Oki, et bien, merci pour ton aide ! Mais je pense que je vais encore faire quellque primitive avec changement de variable....

[inviteb2d925ea]

je voudrais savoir pr cette fonction x^3 e^x est ce correst ce que j'ai fait??
j'ai transformé l'ecriture comme suit e^(3lnx) e^x qui donne e^(3ln x + x)
apres j'ais posé u=3lnx+x donc lintegrale de x^3 e ^x dx est lintegrale de e^u ((3+x)/x)du ..ça donne une primitive egale a e^x*(x^4/3+x)????mais c'est impo!!!!!que faire??merciiiiiii

[Flyingsquirrel]

apres j'ais posé u=3lnx+x donc lintegrale de x^3 e ^x dx est lintegrale de e^u ((3+x)/x)du ..

Et comment on se débarrasse des ensuite ?

Pour calculer tu ferais mieux d'intégrer par parties.

Edit : et puis n'est pas utilisable pour .