dimension espace vectoriel des fonctions de R dans R

[invite7ec123bc]

Bonsoir,


Je bloque sur l'exo suivant:

Soit l'espace vectoriel des fonctions de R dans R. Soit entier on définit l'élément de par de .

Il fautd'abord montrer que le système est libre. Ca je l'ai fait.

Par contre j'ai un doute pour déterminer si est de type fini ou de type infini.

Merci d'avance. Voilà ce que j'ai fait en balise spoiler:

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D'après mon cours, un espace vectoriel (ev) est de type fini s' il admet une famille finie de générateurs.

Mon idée serait donc de prendre un exemple de famille génératrice de pour établir la propriété. Seulement à part la famille constituée de je ne vois pas d'autres familles génératrices. Serait -il possible d'avoir une piste?

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[invitec317278e]

l'espace des fonctions de R dans R est de dimension infinie !
et la fonction constante égale à un n'en n'est nullement génératrice !

pour montrer que E est n'est pas de dimension finie, on peut faire par l'absurde : s'il est de dimension finie, alors il admet une famille finie comme base. Cette base est alors libre, or on sait qu'un espace de dimension finie n'admet pas de famille libre dont le cardinal est plus grand que la dimension de E. Et pour tout n, la famille cos(xn) est libre...

[inviteaf1870ed]

Je dirai même plus, il y a un joli corollaire au théorème de Baire qui dit que la base algébrique d'un e.v. ne peut jamais être dénombrable

[invite7ec123bc]

Un grand merci pour votre aide. Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]