L1 Math : espace vectoriel des fonctions

[invitedad19d55]

Bonjours a tous, voila je suis bloqué dans un DM sur un exercice portant sur l'espace vectoriel des fonctions

Dans F (R,R) : espace vectoriel des fonctions de R dans R

a) Lesquels de ces sous ensembles sont des sous espaces vectoriels de F (R,R)
F0={ f / f (0)=0 }
B={ f bornée }
F1= {f 2 fois dérivables / f ' '+ f =0}

b) La famille {t ->exp(t) , t->cos t } de fonctions est-elle libre? Appartient-elle à F1 ?

Voila, mon probléme est que je ne vois pas comment utilisé mes differents sous ensemble, il existe une infinité de fonction telle que f(0)=0

Pour la question b) par contre je pense l'avoir reussis, la famille n'apparteint pas a F1 car la derivé double de exp(t) est exp(t) donc on aurait

exp(t) + exp(t) = 2 exp(t) et -cos(t)+cos(t) = 0
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[inviteec9de84d]

Salut,
pour la question 1, on ne te demande pas de trouver les fonctions de ces ensembles, mais seulement de vérifier si ces ensembles forment des sous-espaces vectoriels de F(R,R). Tu dois donc vérifier les axiomes :
- non vide
- inclus dans F(R,R)
- stable pour les lois +(addition) et . (multiplication externe)

b) Ok pour la non appartenance à F1, mais tu n'as pas montré si elle était libre ou non...

[invitedad19d55]

pour montrer que la famille n'est pas libre, j'ai considéré t->exp(t) par le vecteur U et t->cos(t) par le vecteur V
puis j'ai prit a et b, 2 réel dans R et j'ai recherché

aU + bV = 0
aexp(t) + bcos(t) = 0

{a+b=0
{a=-b

-> a est différent de b qui sont différent de 0, la famille n'est donc pas libre

pour mes sous ensemble, pour montrer qu'elle ne sont pas vide.
Pour F1, je peux montrer que f(x)=x et non vide avec f(0)=0 ?
pour B, je peux montrer que cos(x) est non vide et bornée ?
pour F0, je peux montrer que pour f(x)=cos(x) -cos(x) + cos(x)=0 ?

Là je vais manger, je vais essayer de voir pour l'appartenance à F(R,R) et la stabilité des lois

[invitec053041c]

aU + bV = 0
aexp(t) + bcos(t) = 0

{a+b=0
{a=-b

-> a est différent de b qui sont différent de 0, la famille n'est donc pas libre

0+0=0
0=-0

Ce que j'écris là est juste pour mettre en évidence que a+b=0 n'implique pas que a et b soient différents de 0
Evalue ton expression pour un autre t, pour avoir une autre équation liant a et b (et seulement là tu pourras dire des choses..). Le plus intéressant est d'annuler le cosinus .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedad19d55]

qu'est ce que tu appelles pas "annuler le cosinus" ?

[inviteec9de84d]

pour mes sous ensemble, pour montrer qu'elle ne sont pas vide.
Pour F1, je peux montrer que f(x)=x et non vide avec f(0)=0 ?
pour B, je peux montrer que cos(x) est non vide et bornée ?
pour F0, je peux montrer que pour f(x)=cos(x) -cos(x) + cos(x)=0 ?

Là je vais manger, je vais essayer de voir pour l'inclusion dans F(R,R) et la stabilité des lois

Ok ça marche ! Attention toutefois au vocabulaire :
une fonction est vide ou non, ça n'a pas de sens : l'ensemble peut être vide. Pour F0, oui tu peux dire que f(x)=x appartient à F0 car f(0)=0 et que par conséquent F0 est non vide.

[invitec053041c]

qu'est ce que tu appelles pas "annuler le cosinus" ?

prendre t=Pi/2 par exemple

[invitedad19d55]

"prendre t=Pi/2 par exemple "

pas béte, mais il n'y as pas le risque que c'est concidéré faux, justement par ce que on utilise un cas particulier à t ?

[invitec053041c]

"prendre t=Pi/2 par exemple "

pas béte, mais il n'y as pas le risque que c'est concidéré faux, justement par ce que on utilise un cas particulier à t ?

Tu veux montrer la liberté de (f,g) où f et g sont deux fonctions de IR dans IR.

Tu veux donc montrer que s'il existe a et b réels tels que:
af+bg=0, alors a=b=0.

Ce qu'il faut voir, c'est que:
af+bg=0 est une égalité fonctionnelle, et qu'elle signifie exactement:
Pour tout réel t, a.f(t)+b.g(t)=0

Donc en supposant af+bg=0, tu le supposes pour tout réel t, et tu as ainsi le droit de voir ce qu'il se passe pour t=0 t=Pi, t=2.3 etc..
D'ailleurs: tu as déduit a+b=0 de l'évaluation de af+bg=0 en t=0.

[invitedad19d55]

Merci pour tes informations ^^ je viens de trouver que a et b sont nul avec l'astuce du pie/2

aexp(pie/2) + bcos(pie/2)=0
aexp(pie/2) + 0 = 0
ceci implique que a = 0 car la fonction exp n'est jammais nul. Remplaçons le a de l'equation original
0*exp(t) + bcos(t) = 0
0 + bcos(t) =0
ceci implique que b = 0 car la fonction cos evolue de [-1;1]
Comme a et b sont nul, la famille est libre.

Maintenant concernant la stabilité des lois de la premiere question. Je suis bloqué car je ne sais pas comment utiliser mes sous ensembles.

[inviteec9de84d]

Maintenant concernant la stabilité des lois de la premiere question. Je suis bloqué car je ne sais pas comment utiliser mes sous ensembles.

Exemple pour F0.
Tu dois montrer que si f1 et f2 sont prises dans F0, alors :


Que peux-tu dire de (lambda.f1 + f2)(0) ?

[invitedad19d55]

Si (Lambda*f1 + f2) apparteint a F0 alors (lambda*f1+f2)(0) = 0

mais, f1 et f2 sont des fonction de F0 ?

[inviteec9de84d]

Si (Lambda*f1 + f2) apparteint a F0 alors (lambda*f1+f2)(0) = 0

mais, f1 et f2 sont des fonction de F0 ?

Tu raisonnes à l'envers....f1 et f2 sont des fonctions de F0. Que peux-tu dire de (lambda.f1+f2)(0) (il y a un mini calcul à faire quand même...).

Tu n'as en aucun cas le droit de supposer que (lambda.f1+f2) est dans F0 pour ensuite le montrer !

[inviteec9de84d]

Plus simplement, il faut montrer que (calculer que)


Pour cela, n'oublie pas que f1 et f2 sont dans F0 (et vérifient donc notamment une certaine propriété...).

[invitedad19d55]

Alors, voici mon brouillons :

Soit f1 et f2, 2 fonctions de FO et Lambda appartenant a R

(Lambda*f1 + f2)(0) = Lambdaf1(0) + f2(0) = lambda*0 + 0 = 0

Mais je ne vois pas ce que représente Lambda, il ne sert pas a vérifié une lois de stabilité par hasars ?

[inviteec9de84d]

Alors, voici mon brouillons :

Soit f1 et f2, 2 fonctions de FO et Lambda appartenant a R

(Lambda*f1 + f2)(0) = Lambdaf1(0) + f2(0) = lambda*0 + 0 = 0

Mais je ne vois pas ce que représente Lambda, il ne sert pas a vérifié une lois de stabilité par hasars ?

Ok !
En effet lambda ne sert qu'à vérifier la stabilité pour la loi . (multiplication externe par un scalaire du corps sur lequel est construit l'espace vectoriel, ici R).


edit : maintenant tu suis le même schéma de raisonnement pour les 2 autres ensembles.

[invitedad19d55]

Sur le méme principe je vais essayer la B

soit b1 et b2, 2 fonction de B et Lambda un réel

b1 est une fonction bornée par les réel a et b
b2 est une fonction bornée par les réel c et d

(lambda*b1 + b2)(x) = lambda*b1(x) + b2(x) = lambda*[a ; b] + [c ; d]

Finalement, (Lambda*b1 + b2)(x) est une fonction borné en [lambda*a + c ; lambda*b + d] est appartient a B

[inviteec9de84d]

Sur le méme principe je vais essayer la B

soit b1 et b2, 2 fonction de B et Lambda un réel

b1 est une fonction bornée par les réel a et b
b2 est une fonction bornée par les réel c et d

(lambda*b1 + b2)(x) = lambda*b1(x) + b2(x) = lambda*[a ; b] + [c ; d]

Finalement, (Lambda*b1 + b2)(x) est une fonction borné en [lambda*a + c ; lambda*b + d] est appartient a B

ok
Le résultat était couru d'avance, car tu sais depuis longtemps que la somme de 2 fonctions bornées reste bornée.

Plus que le dernier, je pense que ça ira maintenant que tu as compris de quoi il retourne.

[invitedad19d55]

Oki, bah merci a tous ^^