Endomorphisme A(x)B

[Anduriel]

Bonjour,

On donne l'endomorphisme A(x)B: X -> AXB où A et B sont des matrices.

On suppose que A(x)B est diagonalisable et A et B non nulles. Il faut que je montre que transposée(B) admet une valeur propre non nulle.

Je suis parti de AXB=bX b réel, mais je n'aboutis à rien.

Comment faire?
Merci
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[invited749d0b6]

Bonjour,[/TEX]

Si est le polynôme minimal de , en multipliant par à droite, on trouve que, si est un vecteur propre de AxB de valeur propre ,
, donc si l'on prend une valeur propre de (qui peut être complexe) , elle vérifie . Donc valeur propre de . On peut faire de même avec , donc les valeurs propres de AxB sont les produits de valeurs propres de et de .