Relation d'équivalence

invitecbade190 · 08/05/2009, 15h59

Bonjour à tous :

Je plante sur l'exo suivant :
Soit : $\text{[math]}$ .
Alors :
$\text{[math]}$ est une relation d'equivalence
$\text{[math]}$
Il existe une partition de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$

**Médiat** · 08/05/2009, 16h12

Avant de te lancer dans la démonstrations, peux-tu énoncer en français ce que l'on te demande de démontrer ?

invitecbade190 · 08/05/2009, 16h26

Salut Mediat :

Ce que j'ai ecrit est tout ce qu'on me demande de demontrer ... il n' y'a pas d'autres choses à ajouter ! Il faut montrer l'equivalence çi dessus : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
Pour : $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ est une relation d'équivalence, alors c'est normal $\text{[math]}$ est une partition de classes d'equivalences et donc : les $\text{[math]}$ sont justement : les classes d'équivalences et leur indices represente par exemple un elements de la classe d'équivalences associé et $\text{[math]}$ c'est l'ensemble qui regroupe un unique element de chzque classe d'equivalence ( de la même manire que ce qu'ont fais pour l'equation des classes en theorie des groupes ) Après pour le reste , je ne vois pas comment m'y prendre !
MErci pour votre aide !

invitec317278e · 08/05/2009, 16h32

Envoyé par chentouf

Salut Mediat :

Ce que j'ai ecrit est tout ce qu'on me demande de demontrer ... il n' y'a pas d'autres choses à ajouter !

Rien à ajouter ? par exemple, ça doit me paraitre normal qu'il n'y ait pas d'indice dans les X de ton union, ou que ton symbole d'union soit un pi renversé, au lieu d'un joli u ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 08/05/2009, 16h34

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$ est une relation d'équivalence, alors c'est normal $\text{[math]}$ est une partition de classes d'equivalences et donc : les $\text{[math]}$ sont justement : les classes d'équivalences

C'est ce que je voulais te faire écrire, une fois que c'est fait, le reste est enfantin non (il te suffit de prendre la définition d'une partition et de vérifier que les conditions d'intersection et d'union sont bien respectées, et dans l'autre sens c'est assez facile aussi, il "suffit" de définir la relation à partir des $\text{[math]}$ et de vérifier qu'elle est d'équivalence) ?

Envoyé par chentouf

et leur indices represente par exemple un elements de la classe d'équivalences associé et $\text{[math]}$ c'est l'ensemble qui regroupe un unique element de chzque classe d'equivalence

On peut aussi le voir comme l'ensemble quotient.

invitec317278e · 08/05/2009, 16h35

pour le sens contraire, je pense qu'il faut construire toi même ta relation d'équivalence à partir de ses classes. Pour ça, on définit simplement la relation en disant que 2 éléments sont en relations si et seulement si ils appartiennent au même $\text{[math]}$ .

Ca doit donner une relation d'équivalence de manière assez triviale.

Edit : grillé

invitecbade190 · 08/05/2009, 16h53

Merci pour ces precisions "MEdiat" et "Thorin" :

Mais c'est encore pas clair pour moi la suite de $\text{[math]}$ :
De façon plus concrète :
Comment verifier que :
$\text{[math]}$
De toute façon : le graphe de $\text{[math]}$ est definit par :
$\text{[math]}$
Merci de votre aide !

invitecbade190 · 08/05/2009, 16h56

RE - salut :
$\text{[math]}$
Voilà !

invitecbade190 · 08/05/2009, 16h59

Pour l'autre sens :
Je considère la relation d'equivalence :
$\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
C'est ça non ?

Merci d'avance !

**Médiat** · 08/05/2009, 17h13

Envoyé par chentouf

Pour l'autre sens :
Je considère la relation d'equivalence :
$\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
C'est ça non ?

Merci d'avance !

J'aimerais mieux (et je ne fais pas mon maniaque sur l'écriture

) :
$\text{[math]}$

invitecbade190 · 08/05/2009, 17h27

Merci pour ces precisions "MEdiat":

J'ai une autre question à vous poser :
D'abord, je rappelle qu'une partie d'un espace topologique est saturée s'il est reunion de classes d'equivalences.
Je voudrais savoir pourquoi il y'a correspondance bijective entre les ouverts de la topologie quotient relative à $\text{[math]}$ et les ouverts saturée de $\text{[math]}$
MErci de votre aide !

invitecbade190 · 08/05/2009, 17h33

Il faut chercher quel est cette correspondance !
L'application qui met en lien les ouverts de $\text{[math]}$ et les ouverts du quotient est l'application $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ Après, je sais pas si celà est utile !

**Médiat** · 08/05/2009, 17h37

Envoyé par chentouf

Je voudrais savoir pourquoi il y'a correspondance bijective entre les ouverts de la topologie quotient relative à $\text{[math]}$ et les ouverts saturée de $\text{[math]}$

La surjection canonique de $\text{[math]}$ dans son quotient est continue (et donc l'image réciproque d'un ouvert ...)

Edit : Oui c'est bien de $\text{[math]}$ que je parlais

invitecbade190 · 08/05/2009, 17h50

Oui, voilà $\text{[math]}$ est donc cette correspondance !
Après, il y'a deux étapes à vérifier :
$\text{[math]}$ On choisit un ouvert $\text{[math]}$ du quotient dont l'image reciproque est un ouvert de $\text{[math]}$ qu'il faut montrer qu'il est "saturé"
$\text{[math]}$ Ensuite, il faut montrer qu'il est unique via $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ est saturée : une partition de classes d'équivalences , pourquoi ? je sais pas !

il est unique par $\text{[math]}$ ! pourquoi, je sais pas !

MErci de votre aide !

invitecbade190 · 08/05/2009, 17h56

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont reunion de classes d'équivalences c'est clair ! mais, je ne sais pas comment exprimer ça algebriquement ! ce que je peux dire c'est que $\text{[math]}$ est la même chose que $\text{[math]}$ mais decrit d'une autre façon ! mais comment formaliser ça en expression mathematique ? ça laisse à dersirer !

invitecbade190 · 11/05/2009, 22h10

Alors ? pad de rep ?

Merci d'avance !

Relation d'équivalence