Convolution et Théorème de Fubini

[inviteb9d96a33]

Bien le bonsoir à tous,

Comme l'indique le sujet, je travaille depuis tout à l'heure sur la convolution et tout ce qui va avec, et j'aurai besoin d'un éclaircissement à propos du (des) théorème(s) de Fubini, puisque, étant en classe préparatoire, je n'ai que quelques notions sur l'intégrale de Lebesgue, en tout cas pas le nécessaire pour maitriser correctement les théorèmes qui en résultent. Pour en venir au problème :

On se donne deux fonctions et ou plus généralement

Les théorèmes de Fubini (première et deuxième formes) permettent de dire que f et g sont convolables, certes, je comprend la démonstration, mais j'ai besoin d'un enoncé précis utilisable à mon niveau. Je connais le théorème qui permet d'intervertir les intégrales sur un pavé, mais sur , quel énoncé dois-je utiliser à mon niveau ? J'imagine qu'il s'agit de l'analogue pour l'interversion de sommation des séries, on a besoin de l'absolue convergence non ?

Merci pour vos réponses !
-----

[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,

Oui si lorsque qu'on integre en valeur absolue, la double integrale converge, on peut appliquer le theroeme de Fubini.

A noter que si la fonction est positive, on peut toujours intervertir les integrales.
On aura l'egalité (+ l'infini compris) .C'est le theroeme de Tonelli je crois.


Bien sur , ceci est valable pour des fonctions mesurables et pour la mesure produit

[inviteb9d96a33]

Merci pour cette réponse, juste un dernier point qui reste obscur :
La convergence absolue de l'intégrale double
, en dehors de la possibilité d'intervertir donne le fait que les fonctions :

et
sont bien définie "presque partout" ?

[invite7ffe9b6a]

Oui je crois que c'est ça.
Cela a l'air d' être confirmer par wikipédia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Fubini


ps: je suis pas très au point sur les mesures produits, quelqu'un qui maitrise mieux que moi le sujet finira bien par passer sur ce post ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9d96a33]

Oui effectivement c'est ce que j'ai vu sur Wiki, mais étant quasi-novice dans le domaine de l'intégrale de lebesgue, la lecture de la chose ne m'éclaire pas du tout ! En tout cas merci pour ces réponses c'est déjà fort utile pour moi, et bonne soirée !

[invite769a1844]

Tu peux regarder dans ce cours aussi autour de la page 60.

[inviteb9d96a33]

Merci pour le lien, je vais de ce pas y jeter un oeil