Géométrie et probas

[invite7739f564]

Bonjour,
J'ai un exercice de probas, mais je n'arrive vraiment pas à le formaliser en termes un peu plus "mathématiques".
Voici le problème: on dispose sur un cercle de manière aléatoire 3 points. Trouver la probabilité que le centre O appartienne à l'intérieur du triangle.
Déjà, je pense avoir une piste:
si on prend 3 variables aléatoires(X, Y, Z) donnant la mesure d'un angle du triangle, on doit avoir X + Y + Z = et X,Y,Z < (d'après des théorèmes de collège ou lycée il me semble), mais j'avoue ne pas savoir l'exploiter .
D'avance merci pour votre aide.
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[MMu]

Soient A,B,C trois points sur le cercle.
Le centre O appartient à l'intérieur du triangle ABC ssi B,C sont d'un côté et de l'autre du diamètre passant par A .. etc ..

[invite7739f564]

Bonsoir MMu et merci pour ta réponse,
Je ne pense pas qu'appartient l'intérieur du triangle soit équivalent à appartient à un des segments du triangle, enfin c'est comme ça que j'ai pris le sujet.

[MMu]

Désolé, ma réponse fut incomplète
Soit et .
On se ramène ainsi à la probabilité d'avoir ou .
... etc ..?.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

La même idée que MMu, représentée autrement.
On pose X = angle (OA,OB) entre 0 et 2 pi et Y = - (OA,OC) entre 0 et 2 pi aussi.
Forcément X + Y <2pi et le triangle est obtus si X>pi ou Y>pi
Sur un graphique Ox, Oy, tu porte X et Y à l'intérieur d'un carré de côté 2 pi. La zone admissible est en-dessous de la diagonale dont l'équation est X+Y=2 pi et on voit que les triangles obtus correspondent à 2 demi-carrés dont l'aire totale est la moitié de l'aire de la zone admissible.
On remarque quand même que l'hypothèse est que les variables aléatoires sont X et Y.
On aurait pu dire que c'est l'angle BAC et on aurait trouvé la même chose.