Géométrie dans l'espace, Probas, Intégrales, faites votre marché, et mon bonheur ?

[invite7af75ce8]

Bonjour,

J'ai plusieures questions, qui sont sans réponses, et font "frémir" mon professeur de maths (bon, c'est vrai, mes questions sont tordues...).

Avec la géométrie dans l'espace, nous avons abordé les fontions à deux variables :



Ma question est la suivante, une telle fontions peut elle être bijective ?
Le principal problème étant, que R² est plus "grand" que R, aussi, je me demande l'infini a t'il des relation ? Car en fait, est ce que card (R²) = card(R)² ?

Aussi, c'est un aspect, que bien sur je ne maitrise pas, mais si vous pouviez un tant soit peu m'aider, car à vrai dire, la puissance du continu, les aleph, etc..j'ai beau chercher, cela ne me dit rien !

Une piste pour résoudre ce problème, serait bien sur, de trouver une telle fonction. Une idée qui m'est venu est de réduire à une intervalle ouverte, la fonction f supposée bijective.

En utilisant par exemple :
qui mettrait donc R+ dans [0;1], en manipulant un peu, et en faisant opérer les "choix", pour x appartient à R+,R-, de même que pour y...

Mais plus simplement, y a t'il une fonction simple de ce type ?

Une autre question, c'est que nous avons vu les surfaces de révolutions, c'est qu'en fait on obtient des formules mettant en jeu x et y, mais est-il possible, de même que cela est possible avec les surfaces définies à la va vite, d'étendre le procédé d'intégration pour trouver le volume entre deux sections données ? Si vous aviez des documents s'y rapportant, je suis preneur.

Une petite avant dernière, nous avons vu les similitudes indirectes, qui permettent d'opérer des symétries par rapport à une droite. J'ai essayé d'étendre le procédé à un cas dit général : on donne une droite avec équations paramétriques/carthésiennes, et on obtient une similitude indirecte correspondante. Un document sur le sujet ? Une expérience personnelle ? Et aussi, une question, cette similitude, est elle unique ?

Et la petite dernière, facile celle là, c'est juste une confirmation que je demande, cela concerne les probabilités, nous avons vu en classe, les densités de proba, qui pour une intervalle donnée nous donne la proba correspondante. Aussi, si je comprend bien, la proba est nulle pour une variable aléatoire précise. Mais pourtant ce cas se produit ? Aussi est il juste de dire que l'évènement est quasi impossible ? Et une question qui me trotte, comment l'exprimer ? Car P(X=a)=0 marque mal...

Merci pour vos réponses !
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[invitec053041c]

R² est évidemment plus "gros" que R, mais ce dernier est vraiment étonnant, donc je ne m'avancerai pas à réfuter l'existence d'une telle bijection, même s'il me semble que cela soit impossible.
Chose curieuse: il y a autant d'éléments dans ]0;1] que dans [1;[ (considérer la fonction inverse)

[martini_bird]

Salut,

R² est en bijection avec R : il suffit de penser à l'application qui code un couple (x, y) dans un nombre réel z dont les chiffres sont alternativement ceux de x et de y.

Par contre, il n'existe pas de bijection continue entre R² et R (ouf ! ).

Cordialement.

[invite7af75ce8]

Quand tu parles d'une fonction à deux variables continues, tu veux parler dans le cas d'une représentation dans l'espace qui serait une surface et non un amas de points disjoints?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Une autre question, c'est que nous avons vu les surfaces de révolutions, c'est qu'en fait on obtient des formules mettant en jeu x et y, mais est-il possible, de même que cela est possible avec les surfaces définies à la va vite, d'étendre le procédé d'intégration pour trouver le volume entre deux sections données ? Si vous aviez des documents s'y rapportant, je suis preneur.

Pour te répondre rapidement :

Quand tu définies une fonction à une variable f(x). L'intégrale de f entre a et b te donne l'aire sous la courbe de f (jusqu'à l'axe (Ox) )
Si tu définies une fonction à deux variables f(x,y). Sa représentation graphique est une surface (quand tout se passe bien). L'intégrale double de f te donne le volume sous la surface (jusqu'au plan xOy). Je détaille pas plus, si tu es en terminale, cela te suffit Tu verras tout ça en fac ou en prépa.

Romain

[invitec053041c]

Salut,

R² est en bijection avec R : il suffit de penser à l'application qui code un couple (x, y) dans un nombre réel z dont les chiffres sont alternativement ceux de x et de y.

Cordialement.

Joli!