Polynome périodique/de degré impair

[invitefc60305c]

Bonjour.
J'aimerai avoir une vérification sur 2 exo sur les polynomes s'il vous plaît.

Montrer que tout polynome de degré impair admet au moins une racine réelle.

Soit P un polynome tel que d°(P) = 2n+1. Supposons que P n'a aucune racine réelle.
P admet 2n+1 racines dans C, notées avec i compris entre 1 et 2n+1.
Donc
Or si un complexe est racine d'un polynome, son conjugué l'est aussi.
Donc est le conjugué de
celui de
etc...
Finalement, est tout seul. Ce qui est impossible.
Si il n'est pas "seul" c'est qu'il existe conjugué de racine de P. Et donc que P admette 2n+2 racines, ce qui est impossible.


Montrer que tout polynome périodique est constant.

Soit P un polynome de degré n et de période T.
Supposons qu'il n'est pas constant.
D'après le théorème d'Alembert-Gauss, il admet au moins une racine notée a.
P(a) = P(a+T) = P(a+2T) = ... = P(a+nT) = 0
Donc P admet n+1 racines, absurde, donc P constant.

Merci bien
-----

[NicoEnac]

Bonjour,

Je suppose que pour le premier exercice, les polynômes sont à coefficients réels. Dans ce cas ta résolution est bonne.

OK pour le deuxième également

[breukin]

Il y a sans doute des preuves plus élémentaires, dans R seul, qu'on peut inférer en dessinant ce qui se passe.

1) Sur la base du fait qu'un polynôme est continu et tends respectivement vers des infinis opposés aux deux infinis. Autrement fit, une fonction continue sans zéro a un signe constant.

2) Une fonction réelle continue périodique est bornée sur R, puisqu'elle est bornée sur son intervalle de période.

[Flyingsquirrel]

Salut,

Montrer que tout polynome de degré impair admet au moins une racine réelle.

Soit P un polynome tel que d°(P) = 2n+1. Supposons que P n'a aucune racine réelle.
P admet 2n+1 racines dans C, notées avec i compris entre 1 et 2n+1.
Donc
Or si un complexe est racine d'un polynome, son conjugué l'est aussi.
Donc est le conjugué de
celui de
etc...
Finalement, est tout seul. Ce qui est impossible.
Si il n'est pas "seul" c'est qu'il existe conjugué de racine de P. Et donc que P admette 2n+2 racines, ce qui est impossible.

Je ne vois pas l'intérêt qu'il y a à utiliser un raisonnement par l'absurde. En conservant les mêmes idée on pourrait répondre ceci : dans , admet un nombre pair de racines non réelles (puisque si est une racine non réelle c'est aussi le cas de qui est distincte de ). étant de degré , on a forcément (on ne peut pas avoir l'égalité pour des raisons de parité). Du coup les autres racines sont réelles et comme ce nombre est strictement positif, il en existe au moins une.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Ce qui est intéressant c'est que la preuve "algébrique" initiale d'anonymus s'appuie sur d'Alembert Gauss, qui se démontre avec des arguments topologiques,
et que la preuve "classique" de Breukin se démontre avec le TVI sur IR, donc de l'analyse et de la topologie.

[invitefc60305c]

Je connaissais la preuve avec le TVI, mais justement, ça me fait bizarre d'utiliser de l'analyse dans de l'algèbre. Du moins, ça m'a pas semblé le plus intuitif. Alors qu'utiliser des théorèmes du chapitre (polynome) et raisonner par l'absurde sont des voies naturelles, je trouve en tout cas, à mon petit niveau.

[inviteaf1870ed]

Oui c'est justement l'objet de ma remarque : ta démonstration n'est pas purement algébrique puisque tu utilises d'Alembert Gauss;
de plus certains préfèrent toujours ne pas utiliser l'absurde quand c'est possible.