Bonjour.
J'aimerai avoir une vérification sur 2 exo sur les polynomes s'il vous plaît.

Montrer que tout polynome de degré impair admet au moins une racine réelle.

Soit P un polynome tel que d°(P) = 2n+1. Supposons que P n'a aucune racine réelle.
P admet 2n+1 racines dans C, notées avec i compris entre 1 et 2n+1.
Donc
Or si un complexe est racine d'un polynome, son conjugué l'est aussi.
Donc est le conjugué de
celui de
etc...
Finalement, est tout seul. Ce qui est impossible.
Si il n'est pas "seul" c'est qu'il existe conjugué de racine de P. Et donc que P admette 2n+2 racines, ce qui est impossible.


Montrer que tout polynome périodique est constant.

Soit P un polynome de degré n et de période T.
Supposons qu'il n'est pas constant.
D'après le théorème d'Alembert-Gauss, il admet au moins une racine notée a.
P(a) = P(a+T) = P(a+2T) = ... = P(a+nT) = 0
Donc P admet n+1 racines, absurde, donc P constant.

Merci bien