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Primitive de 1/(sin x + tan x)



  1. #1
    tyghcv

    Primitive de 1/(sin x + tan x)


    ------

    je n'arrive pas a trouver la primitive de 1/(sin x + tan x)
    Pourriez vous me donner une indication
    Merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    Salut,

    Il me semble qu'on peut trouver les primitives de en posant .

  4. #3
    tyghcv

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    Je vais essayer ça mais d'apres bioche ce serait plutot u=cos x non? enfin j'ai essayé mais ça ne donne rien

  5. #4
    tyghcv

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    oui j'ai trouvé comme ça merci beaucoup

  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    Citation Envoyé par tyghcv Voir le message
    enfin j'ai essayé mais ça ne donne rien
    Ça donne quelque chose mais il faut décomposer en éléments simples...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Josszzz

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    D'après Wolfram Alpha :
    Possible intermediate steps:
    integral 1/(sin(x)+tan(x)) dx
    For the integrand 1/(sin(x)+tan(x)), substitute u = tan(x/2) and du = 1/2 sec^2(x/2) dx. Then transform the integrand using the substitutions sin(x) = (2 u)/(u^2+1), cos(x) = (1-u^2)/(u^2+1) and dx = (2 du)/(u^2+1):
    = integral 2/((u^2+1) ((2 u)/(u^2+1)-(2 u)/(u^2-1))) du
    Simplify the integrand 2/((u^2+1) ((2 u)/(u^2+1)-(2 u)/(u^2-1))) to get (1-u^2)/(2 u):
    = integral (1-u^2)/(2 u) du
    Factor out constants:
    = 1/2 integral (1-u^2)/u du
    For the integrand (1-u^2)/u, expand out the fraction:
    = 1/2 integral (1/u-u) du
    Integrate the sum term by term and factor out constants:
    = 1/2 integral 1/u du-1/2 integral u du
    The integral of 1/u is log(u):
    = (log(u))/2-1/2 integral u du
    The integral of u is u^2/2:
    = (log(u))/2-u^2/4+constant
    Substitute back for u = tan(x/2):
    = 1/4 (2 log(tan(x/2))-tan^2(x/2))+constant
    Which is equivalent for restricted x values to:
    = -1/4 sec^2(x/2)+1/2 log(sin(x/2))-1/2 log(cos(x/2))+constant

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  10. #7
    tyghcv

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    oups en tout cas moi je ne trouve pas ça
    j'ai 1/2 (tan(x/2))-1/6(tan^3(x/2))+constante
    c'est faux?

  11. #8
    tyghcv

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    et maintenant il y en une autre qui me pose beaucoup de problème c'est:
    sh(2x)/ch(3x)
    J'ai essayé de passer par e^x puis j'ai posé u=e^x et enfin j'ai fait une decomposition en éléments simples du dénominateur et du numérateur et puis là je ne sais pas quoi faire d'autres...
    Merci pour votre aide

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Primitive de 1/(sin x + tan x)

    Citation Envoyé par tyghcv Voir le message
    J'ai essayé de passer par e^x puis j'ai posé u=e^x et enfin j'ai fait une decomposition en éléments simples du dénominateur et du numérateur et puis là je ne sais pas quoi faire d'autres...
    Ben normalement tu dois pouvoir intégrer, non ? (j'avoue ne pas avoir fait les calculs ) Qu'est-ce qui te bloque ?

    Sinon on peut aussi exprimer en fonction de . Si je ne me suis pas trompé dans les calculs ça donne ce qui s'intègre sans trop de difficulté en faisant un changement de variable.

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