Primitive de 1/(sin x + tan x)

[invite30d552e4]

je n'arrive pas a trouver la primitive de 1/(sin x + tan x)
Pourriez vous me donner une indication
Merci d'avance
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Il me semble qu'on peut trouver les primitives de en posant .

[invite30d552e4]

Je vais essayer ça mais d'apres bioche ce serait plutot u=cos x non? enfin j'ai essayé mais ça ne donne rien

[invite30d552e4]

oui j'ai trouvé comme ça merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

enfin j'ai essayé mais ça ne donne rien

Ça donne quelque chose mais il faut décomposer en éléments simples...

[invite7ed8e144]

D'après Wolfram Alpha :
Possible intermediate steps:
integral 1/(sin(x)+tan(x)) dx
For the integrand 1/(sin(x)+tan(x)), substitute u = tan(x/2) and du = 1/2 sec^2(x/2) dx. Then transform the integrand using the substitutions sin(x) = (2 u)/(u^2+1), cos(x) = (1-u^2)/(u^2+1) and dx = (2 du)/(u^2+1):
= integral 2/((u^2+1) ((2 u)/(u^2+1)-(2 u)/(u^2-1))) du
Simplify the integrand 2/((u^2+1) ((2 u)/(u^2+1)-(2 u)/(u^2-1))) to get (1-u^2)/(2 u):
= integral (1-u^2)/(2 u) du
Factor out constants:
= 1/2 integral (1-u^2)/u du
For the integrand (1-u^2)/u, expand out the fraction:
= 1/2 integral (1/u-u) du
Integrate the sum term by term and factor out constants:
= 1/2 integral 1/u du-1/2 integral u du
The integral of 1/u is log(u):
= (log(u))/2-1/2 integral u du
The integral of u is u^2/2:
= (log(u))/2-u^2/4+constant
Substitute back for u = tan(x/2):
= 1/4 (2 log(tan(x/2))-tan^2(x/2))+constant
Which is equivalent for restricted x values to:
= -1/4 sec^2(x/2)+1/2 log(sin(x/2))-1/2 log(cos(x/2))+constant

[invite30d552e4]

oups en tout cas moi je ne trouve pas ça
j'ai 1/2 (tan(x/2))-1/6(tan^3(x/2))+constante
c'est faux?

[invite30d552e4]

et maintenant il y en une autre qui me pose beaucoup de problème c'est:
sh(2x)/ch(3x)
J'ai essayé de passer par e^x puis j'ai posé u=e^x et enfin j'ai fait une decomposition en éléments simples du dénominateur et du numérateur et puis là je ne sais pas quoi faire d'autres...
Merci pour votre aide

[Flyingsquirrel]

J'ai essayé de passer par e^x puis j'ai posé u=e^x et enfin j'ai fait une decomposition en éléments simples du dénominateur et du numérateur et puis là je ne sais pas quoi faire d'autres...

Ben normalement tu dois pouvoir intégrer, non ? (j'avoue ne pas avoir fait les calculs ) Qu'est-ce qui te bloque ?

Sinon on peut aussi exprimer en fonction de . Si je ne me suis pas trompé dans les calculs ça donne ce qui s'intègre sans trop de difficulté en faisant un changement de variable.