courbes polaires

[invite3c64d825]

Bonjour!
Un grand besoin d'aide pour les représentations de courbes polaires...
Je n'arrive pas vraiment à saisir la méthode de tracé, et notamment à traduire les propriétés telles que si ro(teta+pi)=ro(teta), et les autres.
ro(teta) est-il la longueur du "vecteur" qui fait un angle teta avec l'axe Ox ??
Plus précisément, je ne comprends pas ce que signifie -ro(teta)...
-----

[invite551c2897]

Bonjour.
Tu regardes là (il y a r au lieu de rho) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires

[KerLannais]

Salut,

Normalement oui, selon la définition des coordonnées polaire est positif et c'est bien une distance mais il n'est pas rare que quand on travaille avec des équations polaires de courbes on utilise des négatif. Dans ce cas le point de coordonnées polaires est simplement le point de coordonnées cartésiennes:


cette définition a un sens pour mais dans ce cas il y a bien entendu une infinité de coordonnées polaires possibles pour un point.
En se donnant un ensemble de définition (qui est souvent un intervalle d'où ma notation) et une fonction de dans on peut définir une courbe (qui est un ensemble de point du plan) comme l'ensemble des points de coordonnées polaires pour . On dit que c'est la courbe polaire définit par l'équation

Maintenant, que peut-on dire de la courbe lorsque pour tout ?
(avec )
Prennons un point de la coube alors il existe un certain tel que les coordonnées polaires de soient . Le point de coordonnées polaires est aussi un point de la courbe et par hypothèse ses coordonnées sont en fait . Si on note les coordonnées cartésiennes de alors


et les coordonnées cartésiennes de sont


Je ne sais pas si c'est plus clair pour toi en coordonnées cartésiennes (c'est déjà évident normalement en coordonnées polaires) mais il devrait être évident que est l'image de par la symétrie centrale de centre l'origine du repère. La preuve c'est que par définition d'une symétrie centrale un point est l'image d'un point par une symétrie de centre si est le milieu du segment . Or les coordonnées cartésiennes du milieu du segment sont:


d'où le résultat. En résumé, dès qu'un point appartient à la courbe, son symétrique appartient à la courbe. Ainsi si tu applique la symétrie centrale à la courbe, l'ensemble des points obtenus est inclus dans l'ensemble des points de la courbe:

et comme appliquer deux fois la symétrie centrale c'est ne rien faire on a

ce qui donne au final

Autrement dit la courbe est invariante par et par définition on dit que est un centre de symétrie de la courbe. Ce qui répond à la question.