Exo simple et pourtant..

[invite7f2916f1]

Bonsoir , j'aurai besoin d'aide , je dois préparer un exercice pour demain , et je suis bloqué sur une question , qui est probablement toute bête.

J'ai un endomorphisme Phi qui a toute fonction f continue sur [0,a] associe la fonction définie par (l'image est en pièce jointe)

Je suis sensé préciser Im(Phi) , or je vois pas trop comment m'y prendre.
J'imagine qu'il faut prendre une fonction continue sur [0,a] et regarder à quelle condition elle appartient à Im(Phi).. mais ça m'inspire pas je suis bloqué :s.

Merci d'avance si vous pouvez me filer un coup de main
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[zoup1]

Avec la pièce jointe, ce serais plus facile. Le mieux serait peut-être d'utiliser Latex dans le forum..

[invite7f2916f1]

La pièce jointe doit être validée.. J'essaye de la mettre directement ( désolé c'est très moche mais j'ai un train à prendre , j'ai jamais utilisé le Latex donc je savais pas comment faire pour écrire ma formule)

[zoup1]

 [tex][\phi(f)](x)= \int_0^af(t)sin(x+t)dt[/tex] 
  

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

On peut commencer par trouver des propriétés aux fonctions images [TEX][\phi (f)][\TEX]. Ici, on a par exemple, est continue, dérivable..., périodique de période
Ensuite, on peut aussi trouver des propriétés à la fonctionnelle (linéarité, continuité par exemple) ce qui permet éventuellement d'écrire un élément de l'image grâce à d'autres images bien choisies (calculer quelques [TEX][\phi (f)][\TEX] avec des f "simples" peut inspirer).

[invite7f2916f1]

C'est vrai que c'est mieux que sur paint à la souris ...
Edit:j'étais en train d'écrire pendant le post précédent . Je devais justement démontrer que Phi était un endomorphisme dans la question précédente, Phi est effectivement lineaire et continue sur [0,a]

Je regarde sur des exemples simples

[invite7f2916f1]

J'ai essayé avec f(t)=1 etf(t)=t mais ça ne m'inspire toujours pas ...

[invite7f2916f1]

D'après ce que j'ai ça a l'air d'être une combinaison linéaire de sin(x+a),sin(x),cos(x) et cos(x+a) . ..

[inviteaf1870ed]

Je pense qu'il n'y a pas de grand mystère dans cet exo :
si tu écris sin(x+t)=sinxcost+cosxsint tu trouves que phi(f)(x) est une combinaison linéaire de sinx et cosx. Comme phi est linéaire, ton image est un sev.
Réciproquement sinx et cosx sont dans l'image.

[invite7f2916f1]

C'est effectivement cela , en plus je venais d'écrire que phi(f)(x) était combinaison linéaire de cosx et sinx...

Des fois je me bloque sur des trucs totalement évidents , en me persuadant qu'il y a quelque chose de compliqué dedans , c'est assez énervant , merci quand même!