ideal principal

[invite7cd6668c]

Je ne parviens pas a montrer que l'ideal suivant n'est pas principal :
dans avec a et b dans C.
Je pense qu'il faut raisonner par l'absurde en utilisant le fait que s'il il l'était on aurait
puisque C[x,y] est factoriel :

Merci de m'aiguiller
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[leon1789]

Ton idéal I n'est pas principal car x-a est irréductible (y-b aussi d'ailleurs...)

[invite7cd6668c]

oui je sais que (x-a) est irréductible danc C[x] donc aussi dans C[x,y] mais je n'arrive pas a conclure cependant.

[leon1789]

De manière générale, d'après sa définition, un irréductible engendre un idéal maximal parmi les idéaux principaux propres. Donc je ne vois comment un idéal propre comme I (contenant strictement un idéal maximal parmi les idéaux principaux propres) pourrait être principal.

Autre méthode. Soit J=(d) contenant I. Alors d divise x-a et y-b, donc d divise pgcd(x-a,y-b)=1, donc d inversible, donc , donc I ne peut pas être (inclus dans un idéal propre) principal.



Remarque : dans les deux cas, on utilise le fait I est propre à un certain moment...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cd6668c]

ok.merci beaucoup léon.La méthode du pgcd est explicite