bonjour j'ai un exercice que je n'arrive pas a résoudre.
en fait j'ai un espace vectorielle G={(x1,x2,x3,x4)€ R4 , x1 + x2 = x3 + x4 = 0} et je dois déterminer la matrice de la projection orthogonale sur G dans la base canoniques de R4
alors si vous avez une idée je suis intéressé
merci d'avance
Je vais supposer que x1+x2=x3+x4=0 --> x1+x2-x3-x4=0 est l'équation d'un hyperplan de R^4. Tu devrais déjà savoir que pour ax1+bx2+cx3+dx4=0, le vecteur (a,b,c,d) est orthogonal a l'hyperplan. Donc tu calcules la proj ortho sur ce vecteur, et avec ca tu peux facilement calculer la proj ortho sur cet hyperplan.
Envoyé par sylvainc2
x1+x2=x3+x4=0 est l'équation de l'intersection de deux sev de dimension 3 (de deux "hyperplans"), ici c'est donc l'équation d'un sev de dimension 2.
Cdlt
j'ai repondu que G = vect((1,-1,0,0),(0,0,1,-1)) pour demontrer que c'etait un sev est ce bon?
et dans la suite il faut donc que je fasse une projection orthogonale sur G mais je ne vois pas bien comment faire ça en dimension 4.
est ce que je peux utiliser le produit scalaire comme dans R3? ou y a t il une formule spécifique?
Oui ces deux vecteurs sont dans l'intersection, j'avais mal interprété la notation..
Pour trouver la matrice de projection orthogonale, j'utiliserais la formule de changement de base A=P B P^-1. Prendre ces vecteurs et les compléter en une base de R^4 par exemple s=(1,-1,0,0),t=(0,0,1,-1), u=(1,0,0,0),v=(0,0,1,0). B est la matrice de projection écrite dans cette base(elle est facile a déterminer), P=[s t u v], est le matrice de passage de cette base à la base canonique, A est la matrice de projection dans la base canonique.
Dans les dimensions > 3, je pense que c'est plus facile d'utiliser cette formule qui marche toujours.
La formulation générale du produit scalaire d'un vecteur X et d'un vecteur Y est
x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
n étant la dimension.
La seule différence entre la dimension 3 et la dimension 4 est le nombre de termes de la somme, qui est la dimension.
Cordialement,
pour s et t je vois bien comment déterminer la projection, étant donné qu'ils sont déjà dans le plan leur projection est eux même mais pourquoi a tu pris u et v ainsi ?
De plus ces vecteurs (u et v) sont déjà ceux de la base canonique donc tant qu'a faire je pourrais directement exprimer tous les vecteurs de la base canoniques, mais je ne vois pas comment faire la projection.
merci de vos reponses
La manière "à la main" marche toujours.
Tu as trouvé deux vecteurs générateurs du sev.
Tu peux alors chercher à mettre (1, 0, 0, 0) sous la forme
a(1,-1, 0, 0) + b(0, 0, 1, -1) + (x, y, z, u)
avec (x,y,z,u) orthogonal au sev.
Cela te donne la projection de (1,0,0,0) et on peut faire la même chose pour les trois autres vecteurs de base...
Cordialement,
Bon oublie cette méthode, de toute facon les vecteurs u et v que j'ai choisis ne sont pas orthogonaux au plan alors la méthode aurait déterminé une projection sur le plan, oui, mais pas orthogonale. Il aurait fallu prendre par exemple u=(1,1,0,0) et v=(0,0,1,1) et là ca marcherait.
Tu dis que que tu connais la méthode avec le produit scalaire c.a.d. je suppose que c'est u' = (u.e)e pour la projection ortho d'un vecteur u sur un vecteur unitaire e. Il y a une théorème qui dit que la somme de projections orthogonales est aussi une projection orthogonale. Alors tu peux faire ceci: calcule M1 la matrice de la proj ortho sur le vecteur (1,-1,0,0) et M2 la matrice de la proj ortho sur (0,0,1,-1). Attention ces vecteurs doivent orthogonaux entre eux (ils le sont) et unitaires (ils ne le sont pas - tu dois les modifier légèrement). Alors la somme M1 + M2 est la projection que tu veux.
Indice: elle va contenir des 1/2 et -1/2 et 0...
Bonsoir ,
sylvain2c a raison.
Voici comment j'arrive au résultat:
-G est un sous espace vectotiel de dimension 2 qui admet pour base v1=(1,-1,0,0) v2=(0,0,1,-1)
-L'orthogonal de G est un sous espace vectoriel de dimension 2 dont les vecteurs sont de la forme(a,a,b,b). Cet orthogonal a pour base u1=(1,1,0,0) et u2=(0,0,1,1)
un vecteur v=(a,b,c,d) est décomposé dans la base v1, v2, u1, u2 comme (a-b)/2*v1 +(c-d)/2*v2 + (a+b)/2*u1 + (c+d)/2*u2
Donc dans la projection sur G
(a,b,c,d) a pour image (a-b)/2*v1 + (c-d)/2*v2=((a-b)/2,-(a-b)/2,(c-d)/2,-(c-d)/2)
(1,0,0,0) a pour image (1/2,-1/2,0,0)
(0,1,0,0) a pour image (-1/2,1/2,0,0)
(0,0,1,0) a pour image (0,0,1/2,-1/2)
(0,0,0,1) a pour image (0,0,-1/2,1/2)
Bonjour.
En quelques ligne la question est fini, il suffit de bien s'y prendre :
On a ici l'équation carthésienne x+y-z-t=0 (*)
Il suffit de calculer la projection orthogonal Q associé à P.
c'est à dire on a comme vecteur orthogonal n=(1,1,-1,-1). ( on peut car on est dans R4 usuel )
On trouve q par la formule de la projection orthogonal: Q = <x,n>/(||n||) * n ( ne pas oublier de normaliser n )
Ensuite il suffit de calculer P = X - Q .
On aura ensuite 4 équations et ainsi dans la base canonique c'est immédiat.
Enfin ne pas oublier de vérifier que P²=P et que le noyaux et l'image sont orthogonaux. Ou bien la matrice d'un projection orthogonal est symétrique, c'est une vérification assez rapide aussi.
