salut tout le monde!
jai une question , jespere kil yora qq1 pour m'aiderc concernant les series de fourier:
la fonction périodique de période 2pi est la suivante:
f(x)= {x si x appartien a [0, pi]
2pi-x si x appartien a [pi, 2pi]
faut trouver sa serie de fourier, mais d'abord je comprend pas pourquoi elle est PAIRE!!! et quelles sont les conditions pr dire ke la serie converge!!! ??
merciiiiiiiiiiii d'avance a bientot jespere mouah
Salut,
Pour voir que la fonction f est paire, il faut dessiner son graphe... C'est pénible à démontrer avec l'expression de f. Mais par exemple, vérifie que f(x)= -x si x dans [-pi , 0]
Pour la convergence de la série de Fourier il faut utiliser le théorème de Dirichlet : si f est de classe C^1 par morceaux, alors sa série de fourier converge simplement vers la régularisé ( f(x^+)+ f(x^-) )/2
Et si f est continue, la série de Fourier converge normalement vers f.
Ici f est C^1 par morceaux et continue. Donc sa série de Fourier converge normalement vers f.
pour la parité de la fonction, faudrai t-il pas plutot démontrer que f(x) = x si x appartient a [-pi, 0] etant donné que dans l'ennoncé , f(x)=x quand x appartient a [0, pi] donc en gros, il faut montrer que
f(-x)=f(x) ????
et pour la convergence, en fait je sais pas quand il faut utiliser ce theoreme de dirichelet, ou bien lautre qui dit que ca converge vers la fonction f directement...
je suis un peu confuse, jespere me suis -je bien fait comprendre:s
en tout cas merci cher xav
j'ai fait les calculs, sauf erreur de ma part : les b_n sont nuls puisque f est paire,
et pour n>0
et donc
La série de fourier de f est donc
Elle converge normalement vers f par Dirichelet. En particulier, en prenant au point x = 0, on obtient
Et en écrivant que
on récupère
ce qui confirme le calcul...
pour la parité, il faut vraiment faire le graphe de la fonction... Si tu tiens a le montrer avec la formule, effectivement, il faut montrer f(x) = f(-x)
Par 2pi-périodicité : si, alors
Et donc f(x) = -x si x est dans [-pi , 0]... Voila, taleur je l'avais vu sur le graphique, par le calcul c'est vraiment pénible..
pardon, j'ai oublié la deuxième partie de la question. Alors en gros c'est toujours le théorème de Dirichlet qu'on utilise : si f est continue, la régularisé de f est égale a f.
Et la convergence normale se voit directement sur la série (c'est toujours très facile a voir en majorant brutalement les sin, cos par l). Donc le théorème continue + C^1 par morceaux est assez inutile en fait. Il faut retenir convergence série de Fourier = théorème de Dirichlet !
donc en fait pour resumer,
pour la parité, il est préférable de faire le graphe, et remarquer que la fonction est la meme pour les x postifs et les x négatifs..
pour la convergence, on écrit d'abord la serie de fourier de f, on majore le cos ou le sin et on en déduit que la serie est normalement convergente, ensuite avec le theoreme de dirichelet, on déduit quelle converge vers la fonction f si celle ci est continue...
( comme la fonction est le plus souvent continue, la serie converge le plus souvent vers f... )
c bien ca en gros?
une derniere chose par rapport a la derniere égalité sur les sommes ( dans tes calculs) je la voi souvent dans les exo: ca se démontre ou bien faut l'admettre ! jai du mal a la comprendre en fait!!
merci en tt cas pour tes efforts de calcul
La dernière égalité se démontre. Par exemple avec ton exercice... c'est ce que j'ai fait ici. Mais le résultat est classique et connu, cela permet de vérifier que les calculs.
Le théorème de Dirichlet affirme quelque chose de puissant : c'est que la série converge vers f. Il donne la limite ! On utilise donc le théorème de Dirichlet pour dire que la série de fourier converge vers f (ou sa régularisé).
Et en bonus on peut avoir de la convergence normale (ce qui nous interesse assez peu en fait). Soit par le théorème si f est continue. Soit en le voyant directement sur la série.
Ce qui est vraiment important avec Dirichlet c'est de pouvoir dire que la série converge vers f : de manière générale, il est difficile de calculer la limite d'une série. Par exemple pour calculer la somme, j'ai écrit
et la on utilise grandement dirichlet. En écrivant la série , tu peux juste dire: la série converge normalement, mais pas dire quelle est la limite !
Voila j'me suis répété plusieurs fois. J'espère que cela a été clair.
SOS
je suis vraiment navrée de te souler encore avec ca... c'est juste que je découvre le cour pour la premiere fois donc....
au fait, la j'etais entrain de faire un exo... c'est la fonction :
f(x)= { 0 si x appartien a ]-pi, 0]
1 si x appartien a ]0, pi]
donc a priori c'est pas une fonction continu donc en appliquant dirichelet la serie de fourier tent vers la regularié de f: qui est 1+0/2
donc pr conaitre la somme de la serie c bien cette limite la...
mais dans ma correction c ecrit: S(pi/2) = f(pi/2)
voila...
La fonction f est continue au point x=pi /2. On a bien
où S est la somme de la série de Fourier. En revanche, au point de discontinuité cela ne marche pas. Par exemple
La régularisé de f est définie par
Elle est égale à f aux points de continuité. Il faut juste faire gaffe aux points de discontinuité.
ouiiii j'ai compris , c'est genial
merci
svp m aider je veux savoir la parité de la fonction f(x)=x(2pi-x) c est une serie de fourier
