Rayon de courbure

[inviteb23713f9]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'une étude du cercle osculateur en physique, nous recherchons s'il existe une formule du rayon de courbure pour une courbe dans un espace à 3 dimensions.

Merci beaucoup
Solène et Sarah
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[invite0fb72cf8]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'une étude du cercle osculateur en physique, nous recherchons s'il existe une formule du rayon de courbure pour une courbe dans un espace à 3 dimensions.

Merci beaucoup
Solène et Sarah

En réfléchissant 'physiquement', le rayon de courbure est donné par l'accélération normale de la particule, via la formule

a = v^2 / R

Donc, tu calcules la vitesse, puis l'accélération. Tu extrait les composantes normales et tangentielles de l'accélération. Finalement, tu prends la vitesse au carré, et tu la divise par la la norme de l'accélération normale, et tu trouves le rayon de courbure en n'importe quelle dimension (> 1, évidement).

A+

Ising



Donc, si tu as une courbe \gamma(t),

v^2 (t) = \gamma

[invite7ce6aa19]

En réfléchissant 'physiquement', le rayon de courbure est donné par l'accélération normale de la particule, via la formule

Encore faudrait-il définir ce qu'est l'accélération normale. Ce que tu dis est valable pour un plan parce que le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe. Le problème posé est relatif à une courbe dans un espace à 3 dimensions où il y a de la torsion.

[invité576543]

Tout est là, non?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fb72cf8]

Encore faudrait-il définir ce qu'est l'accélération normale. Ce que tu dis est valable pour un plan parce que le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe. Le problème posé est relatif à une courbe dans un espace à 3 dimensions où il y a de la torsion.

En général, on définit l'accélération normale comme étant l'accélération moins l'accélération tangentielle. Bien évidement, en dimension 3, c'est un vecteur, et bien évidement, le cercle oscultateur va être dans le plan défini par le vecteur vitesse et le vecteur accélération normale. Mais tout ces points ne faisaient pas partie de la question posée, il me semble...

A+

Ising

[invite7ce6aa19]

En général, on définit l'accélération normale comme étant l'accélération moins l'accélération tangentielle.

A+

Sauf que ton accélération normale est une direction indéterminée. Le plan normal est orthogonale à la tangente à la courbe.

On parle dans l'énoncé du cercle osculateur (je dirais plan osculateur). pour trouver la courbure en un point il faut trouver justement le plan osculateur en ce point. Le vecteur de courbure c'est justement un vecteur qui appartient au plan normal mais situé dans le plan osculateur cad à l'intersection des 2 plans.

[invite0fb72cf8]

A+

Sauf que ton accélération normale est une direction indéterminée. Le plan normal est orthogonale à la tangente à la courbe.

Je ne comprends pas (et j'ai l'impression qu'on parle de la même chose, en fait). Pourquoi cette accélération normale est-elle indéterminée ? Si je définis, en n'importe quelle dimension:



Si ce vecteur est nul, les choses sont évidement mal définies, mais dans ce cas, la trajectoire est une droite, et la courbure est infinie...

Si ce vecteur est non-nul, il est orthogonal à la vitesse, et ces deux vecteurs définissent donc un plan qui est le plan oscultateur. Ensuite, de là, il est facile de trouver le rayon de courbure:



Et le cercle oscultateur sera le cercle inscrit dans le plan oscultateur, de rayon , et centré en .

Ising

[invité576543]

L'un parle d'un rayon de courbure scalaire, l'autre d'un vecteur de courbure. Pour s'entendre, il y a mieux.

Cordialement,

[invité576543]

J'imagine que le vecteur de courbure c'est



dont le module est 1/R et la direction perpendiculaire au plan osculateur? C'est ça?

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Je ne comprends pas (et j'ai l'impression qu'on parle de la même chose, en fait). Pourquoi cette accélération normale est-elle indéterminée ? Si je définis, en n'importe quelle dimension:

OK, je suis d'accord. Il y avait un bug dans mes neurones.

[invite0fb72cf8]

OK, je suis d'accord. Il y avait un bug dans mes neurones.

Idem. J'avais pas bien compris que tu parlais du vecteur de courbure. Alors, tout va pour le mieux

A+

Ising

[invite7ce6aa19]

J'imagine que le vecteur de courbure c'est



dont le module est 1/R et la direction perpendiculaire au plan osculateur? C'est ça?

Cordialement,

Bonsoir,

Ce vecteur tombe dans le plan normale.

Le plan osculateur c'est celui formé par les vecteurs vitesse et accélération. Donc ton produit vectoriel définit la normale N au plan osculateur et cette normale N est elle même dans le plan normal (qui lui même est définit par sa normale T qui est le vecteur tangent cad la vitesse).

Pour définir le vecteur de courbure situé dans le plan osculateur, il suffit de prendre la direction de la composante orthogonale (a la vitesse T) de l'accélération. Son module c'est 1/R

[inviteb23713f9]

Merci à tous, nous avons enfin résolu notre problème.