Bonjour !
Alors voila je suis en train de faire un probleme et je bloque a une question depuis un petit moment et même si je pense savoir quel théorème utilisés, les hypotheses de la question me rendent sceptique.
Je vous résume très rapidement jusqu'à maintenant ma démarche. F(g) sera la notation pour la transformée de fourier d'une fonction g.
On étudie la fonction réelle fs(t)=1/(t²+1)^s, s réel et s>3/2 dans les questions qui m'intéressent.
(i) Dans une première question j'ai montré que F(fs)(0) = sqrt(Pi)*Gamma(s-1/2)/Gamma(s) où Gamma est la fonction
(ii) Dans la deuxieme question j'ai montré que F(fs) était C² et que F(fs)' est la transformée de fourier de -2i*PI*t*fs(t).
(iii) Dans cette question j'ai montré que F(fs) et F(fs)' était a decroissance rapide (Rappel : f est a decroissance rapide si |x^n*f(x)|->0 pour tout n entier quand |x|->linfini).
(iv) Après avoir trouvé une relation a coefficients dans C[t] entre fs, fs', fs'' j'en ai déduit en "appliquant la transformation de fourier à l'ED trouvée" que phis(x)=fs(x/2*Pi) est solution de l'ED : x²v''+2(1-s)xv'-x²v=0.
(v) Nous voila maintenant à la question qui me fait bloquer.
On me demande de montrer que F(fs) est de classe Cinfini sur R* et que toutes ses dérivées sont à décroissance rapide. Puis on me demande si il existe s>3/2 tel que F(fs) soit de classe Cinfini sur R.
Mon problème vient du fait que je ne comprend pas pourquoi F(fs) est Cinfini sur R*...Je ne vois pas le probleme en 0 puisque pour moi fs est Cinfini et je verrais bien le theoreme suivant me donner la réponse néanmoins il ne semble pas s'appliquer :
"si (1+t²)^k/2*f(t) est sommable, alors F(f) est de classe C^k, et on a F(f)^(l)(x)=-(2i*Pi)^l*F(t^l*f) si l<=k."
Merci de m'aider car là je trouve vraiment plus rien, surtout car je ne comprends pas le pourquoi du R*. Merci d'avance.
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