Fourier et continuité
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Fourier et continuité



  1. #1
    invitef1754d56

    Fourier et continuité


    ------

    Bonjour !

    Alors voila je suis en train de faire un probleme et je bloque a une question depuis un petit moment et même si je pense savoir quel théorème utilisés, les hypotheses de la question me rendent sceptique.

    Je vous résume très rapidement jusqu'à maintenant ma démarche. F(g) sera la notation pour la transformée de fourier d'une fonction g.

    On étudie la fonction réelle fs(t)=1/(t²+1)^s, s réel et s>3/2 dans les questions qui m'intéressent.

    (i) Dans une première question j'ai montré que F(fs)(0) = sqrt(Pi)*Gamma(s-1/2)/Gamma(s) où Gamma est la fonction

    (ii) Dans la deuxieme question j'ai montré que F(fs) était C² et que F(fs)' est la transformée de fourier de -2i*PI*t*fs(t).

    (iii) Dans cette question j'ai montré que F(fs) et F(fs)' était a decroissance rapide (Rappel : f est a decroissance rapide si |x^n*f(x)|->0 pour tout n entier quand |x|->linfini).

    (iv) Après avoir trouvé une relation a coefficients dans C[t] entre fs, fs', fs'' j'en ai déduit en "appliquant la transformation de fourier à l'ED trouvée" que phis(x)=fs(x/2*Pi) est solution de l'ED : x²v''+2(1-s)xv'-x²v=0.

    (v) Nous voila maintenant à la question qui me fait bloquer.

    On me demande de montrer que F(fs) est de classe Cinfini sur R* et que toutes ses dérivées sont à décroissance rapide. Puis on me demande si il existe s>3/2 tel que F(fs) soit de classe Cinfini sur R.


    Mon problème vient du fait que je ne comprend pas pourquoi F(fs) est Cinfini sur R*...Je ne vois pas le probleme en 0 puisque pour moi fs est Cinfini et je verrais bien le theoreme suivant me donner la réponse néanmoins il ne semble pas s'appliquer :

    "si (1+t²)^k/2*f(t) est sommable, alors F(f) est de classe C^k, et on a F(f)^(l)(x)=-(2i*Pi)^l*F(t^l*f) si l<=k."

    Merci de m'aider car là je trouve vraiment plus rien, surtout car je ne comprends pas le pourquoi du R*. Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    Intègre par parties!

  3. #3
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Merci de la réponse.

    Mais j'IPP F(fs) sur R+* puis R-* ? Et mon but est d'arriver a quoi dans mon IPP ? Car ce R* me gene toujours, je vois pas meme en faisant des IPP je vois pas encore où le 0 va me gener...

  4. #4
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Edit :

    Et ce que le fait d'arriver a un polynome de degré quelconque p * F(fs(x)) va me permettre de conclure ? (vu que ce n'est plus valable pour x=0 ce qui pourrait justifier R*... mais ça reste encore flou).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    Intègre par parties une fois l'intégrale



    puis applique le théorème que tu mentionnes. Tu devrais voir apparaître une quantité qui est régulière en dehors de xi=0.

  7. #6
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Merci de la réponse encore une fois mais je vois toujours pas pourquoi la transformée de fourier de fs'(t) (car c'est ce qui apparait en plus du 1/x a un facteur près) est Cinfini... Car quand je la derive plusieurs fois je fais descendre un t a chaque fois ce qui fait qu'un moment cette dernière n'est plus intégrable et donc impossibilité d'appliquer le théorème de convergence dominée...

  8. #7
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    En intégrant par parties, on a

    Or,
    est intégrable d'après l'hypothèse sur . D'après ton théorème,
    est de classe C3 sur R tout entier (et donc F(fs) sur R* seulement).
    Il n'y a plus qu'à itérer.

  9. #8
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Merci pour ta réponse edpiste.

    Et même en itérant j'aurai ensuite genre la fonction*(1+t²)^5/2 etc qui sera integrable et donc ma fonction sera C5 etc jusqu'à +linfini ?

  10. #9
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    C'est l'idée: à chaque fois qu'on dérive fs, on gagne de l'intégrabilité à l'infini. Il te reste le calcul amusant de la dérivée n-ième de fs.

  11. #10
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Le probleme c'est que en effet, la derivée n-ième n'a pas d'expressions cool... On se doit de rediger comment alors sans avoir quelque chose d'affreux a faire ?

  12. #11
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    Je pense qu'il doit y avoir une expression pas trop difficile. Mais tu n'en as pas besoin. La seule chose à vérifier est la forme de cette dérivée n-ième et en particulier son comportement à l'infini. Que trouves-tu pour la dérivée seconde, troisième et quatrième ?

  13. #12
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Je peux en effet m'intéresser qu'a la puissance la plus grande du polynome qui va "sortir" a chaque fois au dénominateur car il me suffira a dire si (1+t²)^N/2*ma fonction est intégrable.

  14. #13
    edpiste

    Re : Fourier et continuité

    Montre par récurrence que

    f^(n) (t)= (t^2+1)^{-s-n+1} Pn(t)

    où Pn est un polynôme de degré au plus n. Ceci devrait suffire à finir ton exo. Salut.

  15. #14
    invitef1754d56

    Re : Fourier et continuité

    Encore merci pour ton aide .

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