Continuité

[invite4c8f7e37]

salut, je suis entrain de faire un exo de colle, le voici :

Soit (a,b) appartenant à R^2 / a < b et f: [a,b] ==> [a,b]

1) Montrer que f continue ==> f admet au moins un point fixe
2)Même question si f supposée monotone

-----------------------------------------------------------------------------------------------
voilà ce que j'ai fais :

pour 1) :

f admet un point fixe ==> f(x) = x. on pose g(x) = f(x) - x. De plus a < f(x) - x < b

f(x) - x > a ==> f(x) > a+x
f(x) - x < b ==> f(x) < b+x

d' où 1)

A votre avis ? merci
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[invitefc60305c]

J'vois pas pourquoi "De plus a < f(x) - x < b "

[invitebe6c366e]

De plus a < f(x) - x < b

Ceci est faux; la valeur maximale que peut prendre f(x)-x est b-a et b-a n'est pas toujours plus grand que a pour tout a. Prends a=2.7 et b=2.8 par exemple. De plus, est-ce que b et a sont positifs ?

[invite57a1e779]

Soit (a,b) appartenant à R^2 / a < b et f: [a,b] ==> [a,b]

1) Montrer que f continue ==> f admet au moins un point fixe
-----------------------------------------------------------------------------------------------
voilà ce que j'ai fais :

f admet un point fixe ==> f(x) = x. on pose g(x) = f(x) - x. De plus a < f(x) - x < b

C'est bizarre, a = 1000 et b = 1002, si x et f(x) appartiennent tous 2 à [1000,1002], et je vois mal comment on aurait
1000 < f(x) - x < 1002

Ton idée de g est bonne : tu veux montrer qu'elle s'annule ; comme elle est continue, il te suffit de pouvoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, donc de trouver un point en lequel elle est positive, et un point en lequel elle est négative.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

a < f(x) < b
a-x < f(x) - x < b-x
a-x < g(x) < b-x
Supposons x=b
g(b) < 0
Supposons x=a
g(a) > 0
Or g continue donc il existe c tel que g(c) = 0
autrement dit, g(c) = f(c) - c = 0
donc f(c) = c

[invite4c8f7e37]

ah d'accord merci.

Sinon pour la deuxième question je ne vois pas comment la commencer !

[invite7d436771]

Bonsoir,

Je serais tenté de dire que la monotonie sous-entend que ta fonction est dérivable donc qu'elle est continue ... Mais il se fait tard ...

Cordialement,

Nox

[invite57a1e779]

ah d'accord merci.

Sinon pour la deuxième question je ne vois pas comment la commencer !

La deuxième question demande f croissante, et non monotone.
C'est faux si f est décroissante, il suffit de définir f par f(x)=b si x<b, et f(b)=a : il n'y a pas de point fixe.

Si f est croissante, on pose

Cet ensemble est non vide, puisque a lui appartient.
Cet ensemble est majoré par b.
Donc E admet une borne supérieure c.

Reste à montrer que c est point fixe de f.

[inviteaf1870ed]

Le premier post parle bien de f monotone.
Dans le cas où f est croissante, on sait qu'elle est surjective par hypothèse. Considérons c appartenant à [a,b] tel que f(c)=b. Puisque f est croissante f(b)>=f(c)=b. Donc f(b)=b.
Dans le cas décroissante God's Breath a donné le contre exemple

[invite57a1e779]

Le premier post parle bien de f monotone.
Dans le cas où f est croissante, on sait qu'elle est surjective par hypothèse. Considérons c appartenant à [a,b] tel que f(c)=b. Puisque f est croissante f(b)>=f(c)=b. Donc f(b)=b.
Dans le cas décroissante God's Breath a donné le contre exemple

Je ne vois pas où est l'hypothèse de surjectivité.
L'énoncé parle d'une fonction définie de [a,b] DANS [a,b], pas de [a,b] SUR [a,b].

[inviteaf1870ed]

My mistake...

[invite4c8f7e37]

La deuxième question demande f croissante, et non monotone.
C'est faux si f est décroissante, il suffit de définir f par f(x)=b si x<b, et f(b)=a : il n'y a pas de point fixe.

je ne comprends pas très bien cet exemple. une explication peut être ? je suis toujours confus sur la notion du "point fixe"

Reste à montrer que c est point fixe de f.

je n'y arrive pas. une idée ?

[invite57a1e779]

je ne comprends pas très bien cet exemple. une explication peut être ? je suis toujours confus sur la notion du "point fixe"

Dessine le graphe de f : elle est constante de valeur b sur [a,b[, et prend la valeur a en b. Elle est décroissante (donc monotone), mais aucun point ne satisfait f(x)=x.

Si f est croissante :
Je reprends c qui est la borne sup de .

Pour tout , il existe dans E, tel que . Donc la suite converge vers c.
Comme f est croissante, et est élément de E : , et en faisant tendre n vers l'infini, on obtient [tex]c \leq f(c)].

Si c = b, alors , mais , donc f(c)=b=c, et c est point fixe de f.
Si c < b, alors on considère une suite dans ]c,b] qui converge vers c par valeurs supérieures.

Comme , donc n'appartient pas à E et .

Comme f est croissante, .

On a donc les inégalités et, en faisant tendre n vers l'infini, on obtient bien c=f(c).

[inviteaf1870ed]

Un doute me taraude : comme on ne suppose pas que f est continue, peux tu néanmoins passer à la limite dans ton avant dernière ligne ?
Tu as f(xn)<xn, mais est tu sur que lim f(xn) = f(lim(xn)) ?

[inviteaf1870ed]

J'ai dit une c... : tu ne passes pas à la limite dans ton avant dernière ligne, tu utilises la croissance.