Quel changement de variable faire ?

[invitea250c65c]

Bonjour,

Je m'entraine à calculer des primitives de temps en temps.
Parfois, il n'est pas évident d'effectuer le bon changement de variable.
Je voulais vous demander conseil sur des exemples.

1. On veut calculer (pour ).
Le changement de variable nous ramène à calculer .

2. On veut calculer (pour ).
Le changement de variable nous ramène à calculer .

Ca marche, mais comment pouvait-on à l'avance prévoir ces résultats? Comment pouvait-on, du premier coup, se dire : on pose u=... et conclure?
C'est vrai que souvent au feeling ça marche, soit du premier, soit du deuxième coup, mais par exemple le deuxième (même le premier) changement de variable n'était pas si évident je trouve.

Merci d'avance.
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[Thorin]

Pour le premier, c'est assez commun, dans des expressions de ce type de prendre la "partie moche", et d'en faire la nouvelle variable.

Pour le deuxième, je ne vois pas de raison simple. Mais de toute façon, on aurait pas exigé que tu le trouves seul.

[g_h]

Ah si il y avait une méthode générale ! Rien n'assure jamais de pouvoir aller au bout.

Un bon exo de calcul d'intégrales est de calculer la transformée de Fourier de la fonction (sur ) (bon courage !)

[Hamb]

le changement Y = X - (1/X) ou Y = X + (1/X) est quand même assez fréquent lorsqu'on a affaire à un polynôme dont les coefficients sont symétriques. (ici X^4 - X² + 1)
C'est parce qu'on peut facilement exprimer X^n - (1/X)^n en fonction de (X - 1/X)^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite392a8924]

salut
pour le calcul des integrales indefinies il faut etuider bien touts las cas existant pour ce calcul.
la mathode du changement de variable est devisée en :

1/ le changement de variable ordinaire par exp: int{R(racine(x+a))}dx , donc on pose t ^2= x+a

2/ si ona int{R(racine (x^2+a^2))}dx alors on a ce qu on appelle les substitutions trigonometriques :

-pour L=racine(a^2-x^2) on pose x=asint --> L=a*cost

- pour L= racine (x^2-a^2) on pose x= a/cost --> L= a*tgt

- pour L=racine (x^2+a^2) on pose x=atgt --> L= a /cost

3/si l(integrale contient [ax+b/cx+d ]^p1/q1 et [ax+b/cx+d ]^p2/q2

on pôse [ax+b/cx+d ]=z^n, avec n =ppcm(q1,q2)



4/ il a aussi la methode du binome differntielle::correspond à ton premier exemple))

int{x^m(a+x^n)^p}dx

les conditions de Dirichlet:

* si p est un entier
*si m+1/n est un entier on pose a+bx^n=z^s avec s est le dénominateur de p
* si (m+1/n)+ p est un entier on pose : a(x^-n)+b =z^s


il ya autant de formule bien definies pour ce calcul



consulter le livre ::calcul differntiel et integral de N.Piskounov
(livre russe)
merci et bonne chance.