Problème intégrale fraction rationnelle

[inviteae8cec8c]

Bonjour, je viens solliciter votre aide en urgence car je suis totalement larguée concernant un point de mon cours de maths : l'intégration de fraction rationnelle.

Je passe un rattrapage de maths vendredi et j'ai encore pas mal d'autres choses à revoir donc j'espère que vous pourrez m'aider ^^'

Alors mon problème est le suivant : comprendre l'intégration de fractions rationnelles... Pour vous aidez dans vos explications, j'ai mis un exemple de mon cours sur lequel je bute depuis déjà une bonne demi-heure :



Donc ma fonction de départ est en haut à gauche, je l'ai décomposée en éléments simples à côté...

et dessous j'ai commencé à l'intégrer. Pour le premier morceau, pas de soucis, mais alors le 2ème...

je sais que c'est quelque chose de la forme (αx + β)/(ax²+bx+c)^n ; qu'il y a une grosse formule [(α/2a (2ax +b)) + (β- αβ/2a)] / (ax²+bx+c)^n ; jusque là ok, mais alors après je ne comprends plus rien

en cherchant sur 2/3 sites j'ai vu qu'ils parlaient de changement de variables affines mais lol, je ne sais même pas ce que c'est et c'est pas expliqué dans mon cours <_<

pourriez vous m'aider à la résolution de cet exemple en détaillant un minimum pour que je comprenne siouplai :/ ? merci beaucoup d'avance ^^'
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour intégrer le terme on fait apparaître la dérivée du dénominateur (qui est ) au numérateur :

À la première étape on fait apparaître le "2x" de la dérivée, à la seconde le "+1". Le terme correspond au terme α/2a (2ax +b)/(ax²+bx+c)^n de ta formule et correspond à (β- αβ/2a)/(ax²+bx+c)^n (Plutôt que de retenir cette formule je pense qu'il vaut mieux savoir que l'on fait simplement apparaître la dérivée du trinôme du second degré du dénominateur au numérateur. Après il suffit de jouer avec les coefficients comme je viens de le faire.).

L'intérêt de cette manipulation est que l'on sait intégrer (c'est de la forme ) mais on sait aussi intégrer . Pour ce dernier il suffit de faire un changement de variable affine qui fait apparaître une forme et qui s'intègre en arctangente. Pour trouver quel changement de variable faire, on met le dénominateur sous la forme :

et ensuite on met la constante en facteur :

... et l'on voit que si l'on pose on a bien la forme cherchée.

[invite392a8924]

salut , je sais bien que cette integrale est facile pour toi , suit moi (stp)

voici l'integrale
inte{(ax+b)/(x^2+cx+d)}dx1)

etape1- regrder si on fait appele à la deriver du denominateur dant le numerateur: càd
la derrivee est : 2x+c
etape 2- peut on transformaer cette dérivee en ax+b? la reponse est oui, en effet
2x+c->>>> {(a/2)(2x+c)-ca/2+b}=ax+b

etape3-(1)<-> int {(a/2)(2x+c)-ca/2+b}/(x^2+cx+d)}dx=

(a/2)*int{(2x+c)/(x^2+cx+d)}dx+(-ca/2+b)*int{1/(x^2+cx+d)}dx.

le premier membre est egale à (a/2)log((x^2+cx+d)+v

le deuxieme membre est int{1/(x^2+cx+d)}dx. pour le calculer il suffit de fractionner le deniminateur en elements simples comme tu as fait precedement puis integrer terme à terme.

je pense que tu as saisit cette reponse.
merci et bonne chance.

[inviteae8cec8c]

je vous remercie, j'ai globalement compris l'exemple et je serai le réappliquer pour une valeur de n=1

par contre maintenant ce qui me pose problème, c'est pour les formes où n>1 =/ (moi ? désespérante ? pas du tout xD) ... pourriez vous m'éclairer de ce côté là aussi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

par contre maintenant ce qui me pose problème, c'est pour les formes où n>1 =/ (moi ? désespérante ? pas du tout xD) ... pourriez vous m'éclairer de ce côté là aussi ?

Dans le cas général on peut aussi faire apparaître la dérivée du trinôme du dénominateur au numérateur. On se retrouve à intégrer un terme de la forme avec (facile) et un terme . Pour cette dernière fraction je n'ai pas de solution miracle. Si l'on procède comme tout à l'heure en écrivant sous la forme puis en mettant la constante en facteur on peut se ramener à un intégrer un terme qui ressemble à . Ensuite si l'on pose on obtient

car et . Dans l'absolu on sait calculer les primitives de mais c'est assez lourd et le résultat final risque d'être compliqué.

Il y a peut-être une meilleure méthode...

[invite392a8924]

salut
pour completer ce qui t'a dit notre ami , pour n >1 le travail est facile.suis moi (stp).
soit l'integrale :

I(n)=int{1/(x^2+px+q)^n}dx

on peut tronsformer I(n) en

I(n)=int{1/[(x+p/2)^2+(q-p^2/4)]^n}dx=

= int{1/(t^2+m^2)^n}dt

avec+p/2=t, dx=dt, q-p^2/4=m^2

considérons l'integrale:
I(n)=int{1/(t^2+m^2)^n}dt=

=(1/m^2)*int{(t^2+m^2)-t^2/(t^2+m^2)^n-1}dt =

=(1/m^2)*int{1/(t^2+m^2)^n-1}dt - - (1/m^2)*int{t^2/(t^2+m^2)^n}dt .. (1)

Transformans cette derniere integrale

int{t^2/(t^2+m^2)^n}dt = int{t*t/(t^2+m^2)^n}dt =

= (1/2)*int{t d(t^2+m^2)/(t^2+m^2)^n} =

= (1/2*(n-1))*int{t d(1/[t^2+m^2]^n-1)}
En integrant par partie on obtient:

int{t^2/(t^2+m^2)^n}dt =

= (1/2*(n-1))*[t/(t^2+m^2)^n-1 --int{/(t^2+m^2)^n-1}dt

En substituant ce resultat dans (1) on obtient une formule generale dite récurente


I(n)={t/2*(m^2 )*(n-1)*(t^2+m^2)^n-1 } +

+ {(2n-3)/ [2*(m^2)*(n-1)]}*I(n-1)

cette formule tu peut l'aapliquer directement sans refaire les calculs.

avec: I(1)=int{t^2/(t^2+m^2)}dt= (1/m)arctg(t/m) +c

bonne chance

p.s: prendre le temps et lire bien cette demonstration!

[inviteae8cec8c]

d'accord, j'ai cru voir dans un coin de mon cours aussi que :

∫ du/u^n = 1/(-n+1) * 1/(u^n-1) + cste pour n>1

je pense que c'est bon aussi non ?

[inviteae8cec8c]

en fait c'est bon, mon dernier post était inutile je m'étais trompée en lisant ^^'

merci à vous 2 j'ai compris, et quand j'ai mon cosinus avec une puissance qu'on dira "m" (de 2(n-1)) bah j'ai plus qu'à linéariser...

merci, si un modérateur pouvait locker ^^..

[Flyingsquirrel]

je pense que c'est bon aussi non ?

Ça dépend ce que tu veux en faire. Si c'est pour calculer , ta formule est inutilisable (comment mets tu la fraction sous la forme ?).

Edit : Trop tard.