Equa diff issu de la mecanique

[invite8f8354d4]

Bonjour, à l'issu de la mise en place du PFD appliquée à un piston soumis à la force d'un ressort et à la pression d'un gaz issue de sa compression j'obtient cette équation différentielle:
Avec a,b,c,d,m des constantes non nuls fixé !(d=1.4) donc pas besoin de considéré différentes valeur de d.
Ensuite je considère l'équation sans second membre:
Puis je fais le changement de variable : y=d-x soit x=d-y donc x''=-y''
J'obtient alors :
Je considère encore l'équation sans second membre :
Je multiplie cette équation par y' :
On reconnait alors :
En intégrant et en posant E la constante d'intégration somme de chacune des intégrations on a :

Ou encore:

J'obtiens alors par séparation des variables :

Puis :
C'est ici que je ne c'est pas intégré, si quelqu'un peut m'aider à intégré où à changé de méthode. Merci
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[invite8f8354d4]

N'ayant pas eu le temps d'éditer mon post je remet le 1er message corrigé (j'avais oublié la constante E):

Bonjour, à l'issu de la mise en place du PFD appliquée à un piston soumis à la force d'un ressort et à la pression d'un gaz issue de sa compression j'obtient cette équation différentielle:
Avec a,b,c,d,m des constantes non nuls fixé !(d=1.4) donc pas besoin de considéré différentes valeur de d.
Ensuite je considère l'équation sans second membre:
Puis je fais le changement de variable : y=d-x soit x=d-y donc x''=-y''
J'obtient alors :
Je considère encore l'équation sans second membre :
Je multiplie cette équation par y' :
On reconnait alors :
En intégrant et en posant E la constante d'intégration somme de chacune des intégrations on a :

Ou encore:

J'obtiens alors par séparation des variables :

Puis :
Soit une intégrale de la forme:
C'est ici que je ne c'est pas intégré, si quelqu'un peut m'aider à intégré où à changé de méthode. Merci

[inviteaf1870ed]

The Integrator non plus ne trouve pas de solution....donc pas possible d'intgérer ton bazar !

[invite3ba0dddb]

salut,
à mon avis même s'il existait une méthode miracle tu mettrais 20 pages pour la calculer .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f8354d4]

Ah merde :s , donc je suppose que la seule méthode va devoir être numérique. Va faloir que je me tape un code de calcul à tapé :s; c'est relou lol. Merci quand même !

[invitebc03040e]

Salut,

je pense que ton intégrale appartient à la famille des intégrales elliptiques d'ailleurs elles apparaissent pour la valeur C=4 (par definition), pour les valeurs C=0,1,2,3 l'intégrale possède une écriture analytique!

Sinon as-tu pensé à résoudre ton problème par le formalisme lagrangien ou hamiltonien? Ca simplifie très souvent les problèmes!

Cordialement,

[invite8f8354d4]

Je ne connais pas du tout le formalisme lagrangien ou hamiltonien donc je ne l'ai pas utilisé par contre je veut bien que tu me montre, je suis ouvert à tout ^^ pour apprendre de nouvelles choses

[invitebc03040e]

Bonjour,

Je serais ravi de t'expliquer!

La mécanique classique déduit les équations du mouvement à partir du principe de moindre action. Selon celui-ci, à tout système mécanique on peut faire correspondre une fonction appellé fonction de Lagrange notée L qui dépend des coordonnées , des vitesses généralisées et éventuellement du temps t:



On construit alors l'intégrale suivante:


appelée intégrale d'action.

Le principe de moindre action s'énonce ainsi: le système évolue entre les instants et de manière à rendre extremale l'intégrale d'action.
Mathématiquement ce principe se traduit par l'annulation de la variation première de l'action


On aboutit ensuite à ce qu'on appelle les équations d'Euler-Lagrange (après quelques calculs variationnels, je te passe les détails):



Tu en as n une pour chaque coordonnées, reste maintenant à savoir ce que vaut la fonction de Lagrange L.
On montre alors que l'on a:

L=T-V, où T est l'énergie cinétique du système et V son énergie potentielle.

Donc si tu arrives à exprimer l'énergie cinétique et potentielle de ton système tu pourras appliquer ces équations.
En apparence ça a l'air beaucoup plus compliqué mais avec de l'experience c'est beaucoup plus facile. En plus de cela on n'utilise plus de quantités vectorielles (avec les forces et tout ça la) mais des quantités scalaires.

Je vais te montrer un exemple très simple: la chute libre à une dimension.

L'énergie cinétique s'écrit et l'énergie potentielle
On a alors: Ici il y a qu'une seule equation d'Euler-Lagrange et elle s'écrit:

qui n'est autre que l'équation fondamentale de la dynamique!!

Voilà je te laisse digérer ça et le formalisme hamiltonien viendra après.

Cordialement,

[invite8f8354d4]

Je pense que ce doit être une erreur quand tu mets que la dérivé par rapport à t de la dérivés partiel de L en fonction de la vitesse ! se devrait etre la position x à mon avis.
Sinon on dirait que sa ressemble un peu aux théorème de l'énergie cinétique:
ou encore
Avec W les travaux extérieurs, et P les puissance.

[invitebc03040e]

Salut,

Il n'y a pas d'erreur dans l'expression de l'équation d'Euler-Lagrange: c'est bien ce qui est écrit! (je te l'assure)
Honnêtement je ne vois pas de ressemblance avec le théorème de l'énergie cinétique si ce n'est que l'énergie cinétique intervient dans l'expression du lagrangien.

Concenant ton problème, es-tu en mesure d'écrire le lagrangien de ton système?

Cordialement,

[invite8f8354d4]

D'accord je te crois ! Sinon je vois pas trop comment faire avec mon problème. J'ai toujours une vitesse et donc une énergie cinétique : , je n'est pas d'énergie potentiel de pesanteur car mon piston est horizontal, mon ressort appliqué un effort sur mon piston et il est comprimé à l'instant initial je suppose qu'il faut utilisé sont énergie potentiel élastique : . Ensuite je vois pas trop avec la pression du gaz sur le piston, pour mon PFD j'avais utilisé : car je considère une transformation adiabatique. Il faut peut être utilisé le travail du gaz : Je ne c'est pas trop. Si tu pouvais m'aidé à posé les équations de Lagrange. Merci

[invitebc03040e]

Salut

Si ton gaz exerce une pression sur le piston alors la force exercée sur celui-ci est égale à:

où S est la section du piston.

Pour ton PFD quelle force avais tu inclus pour le gaz?

[invite8f8354d4]

Oui c'est ce que j'ai utilisé.
donc Donc ma pression vaut .
J'avais donc ma force qui équivaut à Avec la distance du piston car la section ne varie pas pour le volume donc il n'y a que la distance.
Et la position à l'instant initial noté x on aurait :

[invitebc03040e]

Bonsoir,

La force exercée par le gaz sur le piston est donc :


Tu en déduis l'énergie potentielle d'intéraction du gaz avec le piston (si tu suppose que est conservative):



Tu peux ensuite écrire le Lagrangien de ton système:



Mais je me rend compte que ça va redonner une équation différentielle du même genre que celle que tu essai de résoudre!
Cul de sac!
Ahhhhhhhhhhh!!

Il faut donc s'attarder sur la forme générale de l'eq diff.

[invite8f8354d4]

Ok, merci quand même