Bonjour !
soit la fonction f de IR dans IR
x => { 0 si X appartient à IQ, 1 sinon}
montrer que :
( avec int(a,b,f) pour intégrale de f sur [a;b])
quelques soient a et b (certes, avec a<b) :
int(a,b,f(x²)) < int(a,b,f(x))
- au besoin on définit int tel que
int(a,b,g(x)) =
lim(n-> infinie ,
somme (k=0->n; g(a+(b-a)*(k/n)))
/n)
)
Cordialement,
question subsidiaire : que vaut int(a,b,f(x)) ??
Salut,
La définition de l'intégrale de f ou de f(x^2) par les sommes de riemann n'est pas valable. En fait le problème est que tu peux avoir des subdivision à pas aussi petit que tu veux, pour laquelle tous les éléments sont rationnels, ou bien tous les éléments sont irrationnels, ou bien il y a autant de rationnels que tu veux et le reste sont des irrationnels. Autrement dit, pour tout e1>0, e2>0 et, tu peux contruire une subdivision (non régulière) de pas plus petit que e1 et qui donne pour l'intégrale de ta fonction f une valeur proche de x à e2 près. Ca veux dire que tu peux obtenir toutes les valeurs entre 0 et 1
Si tu te contente des subdivisions régulières (ce qui est arbitraire) la limite peut exister pour certaines valeurs de a et b et pas pour d'autre ... enfin bref ce n'est pas une définition acceptable de l'intégrale pour calculer l'intégrale de f. La fonction f n'est pas Riemann-intégrable, c'est pour ça qu'on a inventé l'intégrale de Lebesgue, pour cette intégrale
(je suppose que tu es déçu par ce résultat
Cependant avec ce genre de mesure on a forcément des valeurs de a et b pour lesquelles
autrement dit ce serait une intégrale en désaccord avec l'intégrale de Riemann classique. Intuitivement, dans l'intégrale classique, on somme toutes les les valeurs de la fonction mais on les pondère par un poids infiniment petit dx pour que la somme d'une infinité de termes ne soit pas infinie. Dès lors le poids donné à un nombre fini de points est encore infinitésimale et l'intégrale d'une fonction qui prend un nombre fini de valeurs non nulles est nulle (ça paraît naturelle car si pour une fonction quelconque en additionnant un nombre fini de ses valeurs affublées du poids dx n obtienait déjà quelque chose qui n'est pas infiniment petit il est clair que la somme totale sera infinie). C'est également vrai pour une infinité dénombrable de valeurs (je te suggère de t'intéresser à la définition d'ensemble dénombrable), grosso modo ca veux dire que pour une suite
"
on ne somme pas assez de valeurs pour obtenir quelque chose de non nul (c'est ainsi parce que dans un segment on peut construire une infinité de suites qui ont des valeurs distinctes et qui n'épuisent pas les éléments du segment, si la somme ci dessus n'était pas nulle l'intégrale de la plupart des fonction, par exemple la fonction constante égale à 1 serait infinie).
Or l'ensemble des nombres non rationnels dont le carré est rationnel est dénombrable au sens où on peut construire une suite telle que l'ensemble de ses éléments soit exactement ces nombres (de même qu'on peut construire une suite dont les valeurs soient l'ensemble des nombres rationnels). De sorte que intuitivement si on donne le même poids à chaque points:
puisque ces trois fonctions ont trop peu de valeurs qui sont différentes (même s'il y en a une infinité). Maintenant si on travaille avec une mesure plus générale on peux choisir de ne pas donner le même poids à chaque points et on peut donner un poids nul au nombre qui ne sont pas rationnels et dont le carré n'est pas rationnels, on peut alors donner un poids infiniment petit mais "moins infiniment petit" de telle sorte que la somme des poids sur l'ensemble des nombres irrationnels dont le carré est rationnel soit non nulle et donc ainsi ont pourrait avoir des intégrales distinctes. Cependant cette intégrale ne correspondrait pas à l'intégrale classique qui donne le même poids à chaque point.
merci pour votre réponse !
Par quelle raisonnement arrivez vous directement à cette égalité ? Je ne comprend pas. Est-ce la définition de l'intégrale de Lebesque ?Envoyé par KerLannais
Salut,
La définition de l'intégrale de f ou de f(x^2) par les sommes de riemann n'est pas valable. En fait le problème est que tu peux avoir des subdivision à pas aussi petit que tu veux, pour laquelle tous les éléments sont rationnels, ou bien tous les éléments sont irrationnels, ou bien il y a autant de rationnels que tu veux et le reste sont des irrationnels. Autrement dit, pour tout e1>0, e2>0 et
Si oui, comment démontre t'on l'égalité entre la 1ère et la troisième partie de l'égalité ?!?
Pardonnez ma totale bétise dans le domaine, mais ce qui me choque, c'est que si
x n'appartient pas à IQ, ça ne nous dit pas si x² appartient à IQ...
racine(2)² appartient à IQ
mais
Pi² n'appartient pas à IQ.
Comment les fonctions indicatrices pourrait elle être d'entrée de jeux comparables ??
Cherchez plus, j'ai la réponse.. (je crois)
Quelque soit x dans [a;b],
si x appartient à IQ alors x² appartient à IQ
si x n'appartient pas à IQ alors x² appartient ou pas à IQ
soit E l'ensemble des x tels que x appartient à IQ
soit F l'ensemble des x tels que x² appartient à IQ
on a donc E inclus dans F.
mais comment formuler ça ? ?
personne ne sait ?? ou alors ai je mal compris l'explication précédente ??
Bonjour,
Oui, l'intégrale de Lebesgue permet de faire directement le calcul étant donné que quand deux fonctions différent sur un ensemble négligeable (cf. théorie de la mesure) de points leurs intégrales sont égales. Ici l'ensemble des points sur lesquels les fonctions ne prennent pas les même valeurs c'est F privé de E, qui est un ensemble infini mais négligeable car dénombrable (je ne peux pas refaire ici un cours de théorie de la mesure). Intuitivement l'intégrale de f c'est la somme des f(x)dx, c-a-d des valeurs de f multipliées par un infiniment petit dx et il faut sommer un suffisamment grand nombre de dx pour obtenir quelque chose qui n'est pas infiniment petit (et donc nul en analyse classique mais on peut toujours travailler en analyse non standard). Ainsi une fonction qui ne prend pas suffisamment de valeurs non nulles a une intégrale nulle (quand bien même elle prendrait une infinité de valeurs, si c'est un "petit" infini ça ne suffit pas forcément).
Je n'ai pas fait de démonstration rigoureuse, j'ai juste essayé de donner des éléments de réponses tout en restant formel dans le fin de mon message. Bien entendu on a E inclu dans F ce qui donne:
mais ce n'est pas forcément un inférieur strict même si l'inclusion est stricte. Je vais prendre un exemple:
on prend
on a ainsi
alors on a
mais
et donc cette différence est nulle en analyse classique. Par contre, si on définit la mesure
alors
ce qui donne
mais par contre avec cette intégrale, pour une fonction f on a
autrement dit, on donne un poids 1 à 1 et 0 à tous les autres points de
[QUOTE=KerLannais;2434181]Bonjour,
Oui, l'intégrale de Lebesgue permet de faire directement le calcul étant donné que quand deux fonctions différent sur un ensemble négligeable (cf. théorie de la mesure) de points leurs intégrales sont égales. Ici l'ensemble des points sur lesquels les fonctions ne prennent pas les même valeurs c'est F privé de E, qui est un ensemble infini mais négligeable car dénombrable (je ne peux pas refaire ici un cours de théorie de la mesure). /QUOTE]
Je crois que je comprend. Donc ceux qui disparaissent, même infinie, sont infiniment moins nombreux que ceux qui restent... (et donc si on trouvait réélement une valeur numérique, on trouverait la même)
Mais est ce raisonnable de ne plus les prendre en compte pour autant ? Je trouve que là, l'utilisation des surréels serait nécessaires.. On peut pas considéré que card(E) < card(F) et en même temps que card(E) = card(F) .. il faudrait un truc du genre card(E) + epsilon = card(F)
Oui,
J'ai toujours voulu développer, mais j'ai jamais eut le temps une théorie de la mesure où les mesures pourraient prendre des valeurs surréelles, mais je n'ai pas assez de connaissance en analyse non standard et je sais pas si ça déjà été fait d'ailleurs. J'ai l'intuition qu'avaec de telles mesures il n'y aurait plus d'ensembles non mesurables, on ne serait pas obligé de vérifier qu'une fonction positive est mesurable pour pouvoir l'intégrer, deux fonction différentes auraient toujours des intégrales différentes, qu'on ne serait pas obliger de quotienter les fonctions intégrable par une relation d'équivalence presque partout et que du coup cela aurait un sens de regarder une valeurs ponctuelle de telles fonctions. On pourrait définir le delta de Dirac comme une fonction et non comme une distribution et d'ailleurs il n'y aurait pas de distributions mais seulement des fonctions. Mais bon
