Notion d'ouvert dans R

[invitecd16a0fc]

Bonjour,

J'ai besoin d'une clarification.

Est-ce qu'un ensemble ouvert dans R est toujours un intervalle ouvert dans R? Mon raisonnement est le suivant: un ensemble A dans R est dit "ouvert" si chacun de ses points est un point intérieur. Or, un point p d'un ensemble A est dit "intérieur" s'il existe un intervalle ouvert qui à la fois est inclus dans A et contient p. Cela revient à ce que A soit une réunion d'intervalle ouverts, de sorte que A lui-même est un intervalle ouvert. Ce raisonnement est-il valide?

Merci!
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[invite97a92052]

Une réunion d'intervalles ouverts n'est pas nécessairement un intervalle ouvert !

exemple : ]1, 2[ U ]3, 4[ est ouvert, mais n'est pas un intervalle ouvert

[invitecd16a0fc]

Une réunion d'intervalles ouverts n'est pas nécessairement un intervalle ouvert !

exemple : ]1, 2[ U ]3, 4[ est ouvert, mais n'est pas un intervalle ouvert

Ok,

Donc, si je comprends bien,

Un ouvert dans R est soit un intervalle ouvert, soit une réunion d'intervalles ouverts disjoints deux à deux. Pouvez-vous confirmer?

Merci!

[invite97a92052]

Pour continuer un peu l'autre question que tu as posée : pour être totalement précis, il faut préciser la topologie dans laquelle tu te places.

La topologie "usuelle" de R est la topologie engendrée par les intervalles de la forme ]a, b[ avec a<b.

Dans ce contexte, la réponse est oui, si tu considères que R, ]a, +oo[, ]-oo, a[ et l'ensemble vide sont aussi des intervalles.

Tu peux bien sur définir d'autres topologies sur R qui ne vérifient pas ça. (par exemple la topologie chaotique)

[A voir en vidéo sur Futura]