Question sur SL_n(Z)

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment on démontre que l'application réduction est surjective entier).

Quand on fait des formes modulaires, on sait comment faire pour n=2, mais pour n quelconque ? (meme n=3...)
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[invite4ef352d8]

Et bien par un algo type gauss, on peut montrer que SLn(Z/nZ) est engendré par les transvections et les matrices de permutation. Or ces matrices sont evidement dans l'image de la reduction modulo N, donc tous va bien ^^

[invite4ef352d8]

hum... je viens de me rendre compte que les matrices de permutations n'etait pas dans SLn

bon si N est différent de 2, on peut travailler avec la projection de GLn(Z) dans l'ensemble des matrice de Mn(Z/NZ) de déterminant +ou - 1, et utiliser l'argument précedent...
si N=2... faut trouver autre chose


edit : bon en fait en rafinant un peu l'algoritme type gauss dont je parlais on peut s'en sortir sans utiliser de matrice de permutation de determinant -1 donc ca marche aussi dans le cas N=2...

[invite8b6c7fe1]

Bonjour,
Je ne me souviens plus de la façon de faire mais je me souviens que la solution est difficile. Je ne crois pas que ton argument marche, l'erreur est dans le "évidemment": essaye de le prouver et tu verras que ce n'est pas si facile!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Hum...euh le "evidement" de "Or ces matrices sont evidement dans l'image de la reduction modulo N" est vraiment evident !

si tu as une matrice de transvection dans Z/NZ elle s'ecrit avec des 1 sur la diagonale et un element a non nul ailleur (enfin... si elle est compatible avec la base, mais quand on fait l'algo de gauss on utilise que des transvection compatible avec la base), tu prend un relevement a' de a dans Z, la matrice avec des 1 sur la diagonal et un a' ailleur est bien dans SLn(Z) et s'envoi sur notre matrice par la réduction modulo N...


pour ce qui est de "l'algo type gauss"
l'ideal engendré par les elements de la premiere ligne est forcement Z/nZ tous entier (sinon l'application n'est pas surjective est encore moins bijective... ou encore, sinon on peut metre un générateur de cette ideal en facteur dans le déterminant qui ne serait pas etre 1...) on peut donc faire en sorte obtenir un 1 en haut à gauche par des opération elementaire sur les colones, puis encore par opération elementaire utiliser ce 1 pour anuler toute la première ligne... et on recommence avec la deuxieme ligne. (et à la fin on trouve un 1 dans la dernière case car le déterminant doit etre 1...)


non vraiment, j'ai tous vérifier, et je ne vois pas ou est le problème... ceci dit ce n'est pas non plus une solution si simple que ca, je veux dire ce genre d'argument est assez puissant : on peut démontrer le th de structure des module de type fini sur un anneau principale avec une argumentation similaire...
donc par opération elementaire sur les

[invite6a2167ab]

Bonjour,

Si Je t'invite à regarder le sujet Mathématiques MPI1 de l'ENS Ulm 2006 (disponible sur http://www.interens.org/interens/index.htm), les premières questions parlent précisément de ton problème.

Cordialement,

La Chouette Rieuse

[invitea41c27c1]

Ok merci La Chouette.

Sinon Ksilver j'ai une question sur le passage suivant :

on peut donc faire en sorte obtenir un 1 en haut à gauche par des opération elementaire sur les colones

Pour obtenir le 1, tu raisonnes dans ou dans ?

Si tu raisonnes dans comment peux-tu obtenir le 1 sans faire une dilatation (tu sais que 1 est dans l'idéal de la première ligne mais après...) ?
Si tu raisonnes dans , tu prends un relèvement dans de la première ligne et sans faire de dilatation (en utilisant le fait que est euclidien, contrairement à qui n'est que principal) tu peux obtenir le pgcd des coefficients sans faire de dilatation, mais comment choisir ce relèvement pour que le pgcd fasse 1 modulo N ?

[invite4ef352d8]

Hum oula oui, en effet on viens de me souffler que "SLn est engendré par des transvection" est vrai sur un anneau euclidien, mais pas toujour sur un anneau principale (cf P.M. Cohn, On the structure of the GL2 or a ring, Publication mathématiques de l'IHES 30) donc effectivement, c'est ce point la qui coince dans la démonstration :S

donc il faut soit raisoner sur Z, soit inventer un algo d'euclide sur Z/nZ (qui n'est pas euclidien à proprement parlé vu qu'il n'est pas intègre, mais on peut simuler une pseudo division euclidienne en prenant le relevement de [0,N-1], en faisant la division euclidienne et en re-réduissant modulo N apres... )

pour raisoner sur Z le relevement, d'une famille (a1...an) premier entre eux à Z ce fait de la facon suivante : on suppose connu le cas n=2 qui viens de la surjectivité de PSL2(Z)->PSL2(Z/NZ) qu'apparement tu sais faire. et on raisone par récurence.

si on à (a1...an) des elements telle que (a1,a2..,an)=Z/NZ, on regarde l'ideal (a1,a2) qui est principale dans Z/NZ : (a1,a2)=(d) on peut donc ecrire a1=da'1, a2=da'2, avec (a'1,a'2)=(1), etant donné que (a1,a2)=(d), on a (d,a3,..,an)=(1) on applique l'hypothese de récurence qui nous donne un relevement d",a"3...a"n telle que pgcd(d",a"3...a"n)=1 dans Z.
on choisit ensuite un relevement de a"1 et a"2 de a'1 a'2 telle que (a"1,a"2)=1 dans Z et finalement (d"a"1,d"a"2,a"3,a"4...a"n) forme un relèvement de (a1...an) telle que pgcd(d"a"1,d"a"2,a"3,a"4...a"n ) =1.


enfin, je trouve ca quand meme dommage d'avoir bessoin du cas n=2 pour avancer... il doit y avoir plus simple.

[invite4793db90]

Salut,

une démonstration (rapide) dans Introduction to the arithmetic theory of automorphic forms, G. Shimura : c'est là, p.21.

Cordialement.

[invitea41c27c1]

Ok, ça roule.

Ksilve : la référence que tu cites donne-t-elle un contre-exemple en anneau non euclidien ?

[invite4ef352d8]

pour un anneau principale non euclidien :

elle prouve pour etre précis qu'avec A=Z[(1+isqrt(19))/2] (qui est principale mais non euclidien), Sl2(A) n'est pas engendré par des transvections