calcul de primitive

[invite787dfb08]

Hello

j'ai un petit problème pour le calcul de la primitive suivante :


qui peut s'écrire aussi :


j'ai essayé plusieurs changements de variable, j'arrive en fait à des résultats (assez compliqués), alors que maple à une solution plus simple :



et c'est cette dernière solution que je voudrais trouver, puisqu'en fait cette primitive n'est qu'une partie de la méthode de variation de la constante d'une équation différentielle d'ordre 1

Voila si vous avez une idée pour me débeuguer...

Merci d'avance

+++


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[inviteaf1870ed]

par parties, plutôt, non ? Ou alors au vu de la solution le changement de variable "magique" u=2x-1

[invitec317278e]

au vu de la symétrie "x(x-1)", je ferais x=(t+0.5)

on se retrouve sauf erreur avec en gros du (x²-0.25)^(-3/2) à intégrer...ce qui doit ensuite pouvoir se faire facilement par partie en multipliant et divisant par x. (une primitive de ((x²-0.25)^(-3/2))*x est a peu près (x²-0.25)^(-1/2))

Sinon, directement par partie, mais je pense que si on fait mon changement en premier lieu, on a des calculs moins lourds.

[inviteaf1870ed]

le changement de variable u=2x+1 transforme x²-x en (u²-1)/4 et ensuite par parties en prenant u'=(u²-1)^-3/2 et v=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite787dfb08]

??

Je vois pas en quoi l'IPP rend les choses plus simples.
Je suis d'accord avec le premier changement de variable, qui est évident si on met x(x-1) sous forme canonique. Je suis aussi d'accord avec le (u²-1) par contre l'IPP n'est pas plus simple du tout après.

nan ?

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[invite787dfb08]

l'ipp donne cette primitive que je n'arrive pas à calculer :



je dois être proche du but mais je ne vois pas...

[invite6f25a1fe]

Moi j'aurais plutôt essayé un changement de variable sorti de l'espace dans le genre qui devrait nous donner quelque chose de la forme si je ne me trompe pas.
Et ca doit être intérable plus facilement vu qu'on a une forme du type

Mais j'ai peut être tout faux ...

[invite787dfb08]

j'arrive pas non plus à une forme aussi simple....
en fait c'est (tan²(x)-1)^(3/2)/cos²(x) donc ça ne va pas...

[invite6f25a1fe]

oops, désolé, je me suis effectivement trompé dans l'énnoncé.
Je vais voir si je trouve autre chose...avec le bon énnoncé cette fois ci

[invitec317278e]

quand on a (u²-1)^{-3/2}, le changement de variable u=ch(t) peut sans doute être pas mauvais.

(on arrive a du sh(t)^(-2), qui s'intègre avec les règles de bioches)

[invite787dfb08]

Certes
J'ai déjà fait cette solution puis je suis repassé enforme exponentielle, puis j'ai utilisé la forme logarithmique puis j'ai tout simplifié mais je n'arrivais pas à la forme voulue...

Le truc c'est que ça va me donner une solution particulière d'une équa diff et il y en a une très simple alors j'essaie d'éviter les truc trop compliqué, mais je vais réessayer les calculs.

[invitec317278e]

montre donc l'équadif

[invite787dfb08]

je viens de refaire tout avec maple l'expression est vraiment trop compliquée à la fin....

[invite787dfb08]

l'équa diff c'est :

2x(1-x)y'+(2x-1)y=1

rien de bien méchant à première vue

[invitec317278e]

de toute façon, dans cette équation, la solution particulière étant évidente, pas la peine de se lancer dans un calcul potentiellement compliqué de primitive

[invite787dfb08]

Mouais enfin évidente, je pense que si on balance (2x-1) est solution évidente on pert un paquet de point parceque je pense vraiment que la méthode de variation de la constante est attendue

[invitec317278e]

sur cette équation, nan : il est vraiment naturel de chercher des solutions polynomiales avec cette équation où le terme des y' est un polynôme de degré supérieur de 1 au degré du coefficient de y qui est aussi un polynôme.

C'est au contraire une bonne intuition de chercher des solutions sous la forme de polynôme, qui fait gagner du temps, et peut être facilite la tâche, surtout vu que l'intégrale donnée par la variation de la constance est pas vraiment facile

Et puis après tout, la méhode de la variation de la constante est dans le cours, certes, mais à la base, elle parait quand même bien parachutée, et bien moins naturelle que de chercher les solutions sous forme de polybômes.

[invite787dfb08]

okay je prend note, merci bien

c'est vrai que le cours datant pas mal, j'ai tendance à toujours faire la méthode de variation de la constante si la solution ne me pète pas aux yeux direct

Bonne nuit
A++