Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me donner une démonstration de l'égalité suivante sans utiliser de raisonnement matriciel:
Dim(L(E,F))=Dim(E)*Dim(F)
où L(E,F) est l'espace des applications linéaires de E dans F (E et F espaces de dimension finie).
Impossible de retrouver ca dans mes cours de sup!
Merci d'avance.
Pourquoi tu ne veux pas utiliser de raisonnement matriciel ??
Une autre preuve simple utilise le produit tensoriel, mais je ne sais pas si tu connais...
On peut faire une récurrence sur la dimension de E par exemple.
Je ne veux pas de démonstration matricielle parce que je sais qu'il y a un moyen qui tient en 3 à 4 lignes pour le montrer autrement, plus élégant, que je ne retrouve pas et je n'aime pas ca!
Je retourne à mes vieux classeurs mais je ne vois vraiment pas où a pu passer ce cours.
Je n'ai pas encore vu le produit tensoriel...
Salut!
[QUOTE=kiton;2444013]
Quelqu'un pourrait-il me donner une démonstration de l'égalité suivante sans utiliser de raisonnement matriciel:
Dim(L(E,F))=Dim(E)*Dim(F)
où L(E,F) est l'espace des applications linéaires de E dans F (E et F espaces de dimension finie).
/QUOTE]
La clé est le théorème qui affirme qu'une application linéaire (AL) est entièrement caractérisée par la valeur prise par les éléments d'une base (donnée). Donc une AL est déterminée par (dim E) vecteurs de F. Chacun de ces vecteurs est déterminé par (dim F) paramètres, donc tu as besoin d'exactement de dim E*dim F pour définir une AL. D'où le résultat.
Je pourrais te donner une démonstration beaucoup plus formelle, en exhibant une base par exemple. Mais j'ai l'impression que ce serait utiliser un raisonnement matriciel "caché".
jobhertz -> comment montres-tu que L(E,F) etsont isomorphes en dimension finie? Je ne vois pas d'autre méthode que d'utiliser le fait que ces espaces ont même dimension.
Cordialement
Il faut essentiellement montrer que si (e1...en) est une base der E* , et f1...fn une base de F, alors les ei*fi (NB: ca à un sens...) forment une base de L(E,F)
apres qu'on le fasse matriciellement ou vectoriellement, le problème est le meme et la preuve est à peu pres aussi longue
Le raisoennement avec des matrices tient en 1/2 lignes, donc je ne comprends toujours pas... m'enfin !Envoyé par kiton
mais en même temps, introduire les matrices prend plus de 2 lignes, faut prendre ça en compte aussi.
de même, peut etre que le raisonnement du cours de kiton faisait 3 lignes, mais qu'il s'appuyait sur plusieurs lemmes visant à démontrer le résultat ensuite...
Tu crois qu'on peut parler d'espaces vectoriels sans parler de matrices ?
