Espace supermétrique

[Dydo]

Bonsoir à tous.

Récemment, en passant mon oral de TIPE, on m'a reproché de parler de distance et de norme sur l'espace vectoriel Z/2Z (à savoir : le poids de Hamming et la distance associée), alors que les applications considérées vérifient effectivement les axiomes définissant usuellement une norme ou une distance. Il me semble déjà avoir entendu cette remarque, et j'aimerais en comprendre la raison...

On m'a dit que l'espace Z/2Z était un espace supermétrique, et la justification semblait s'arrêter là. Que signifie cette dénomination dont je n'arrive pas à trouver la définition, et pourquoi ne peut-on pas parler d'espace métrique lorsqu'on traite d'espaces vectoriels ayant pour corps de base Z/2Z ?

Merci de vos éclaircissements

Bonne soirée.
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[invite4793db90]

Salut,

tu voulais peut-être parler de distance "ultramétrique" ?

Du reste, un ensemble muni d'une distance est en effet un espace métrique (que cette distance soit archimédienne ou non).

Cordialement.

[Dydo]

Merci de ces précisions, mais on m'avait bien dit supermétrique :'( Peut-être ai-je déformé les propos depuis le temps...

Cependant, si on a bien à faire à un espace métrique, pourquoi dire que ce n'en est pas un ? (parce qu'apparemment, c'est une réaction très générale...).

Merci à tous

[invite4ef352d8]

Salut !

un espace ultramétrique est un cas particulier d'espace métrique :

dans un espace métrique tu as d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y)

dans un espace ultramétrique tu as d(x,y) <= Max (d(x,z),d(z,y))

l'inégalité ultramétrique à de nombreuse conséquence sur la géométrie et la topologie de l'espace :
-les boules (de rayon >0) sont toute à la fois ouverte et fermé.
-le topologie est totalement discontinue
-deux boules sont soit disjointes soit l'une est inclu dans l'autre.
-tous point d'une boule est centre de la boule.

si on est sur un groupe topologique ultramétrique : une série est sommable si et seulement si son terme général tend vers 0. etc etc...

la distance de Hamming n'est pas ultramétrique donc je suis pas sur que ca soit de ca dont tu parle. mais par rapport à ce que tu dit : l'espace Z/2Z munie de la distance de Hamming est bien ultramtrique (mais il a pas de mérite : c'est la distance discrète...)

j'ai jammais entendu parler d'espace "supermétrique" et je suis quasi sur que c'est n'est pas un terme classique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il s'agit peut-être d'espace hypermétrique.
Voici un article : http://www.liga.ens.fr/~deza/tomyacc...nhypspaces.pdf.

[invite8ef897e4]

Bonjour,

espace "supermétrique"

le terme est commun en physique des particules :
http://en.wikipedia.org/wiki/Superspace
mais j'ai l'impression que si l'on a vraiment qualifie Z/2Z de supersymetrique, c'est plus pour impressioner que pour signifier quelque chose de pertinent. Cela dit je ne suis pas expert.

Peut-etre adaptee a cette audience, voir le cours
http://www.math.ias.edu/QFT/fall/index.html