demonstration formule sur les determinants

[invite69d45bb4]

quelqu'un peut il me demontrer cette formule ça m'aiderait à y voir plus clair.

merci par avance.
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[invitec317278e]

ca dépend....donne nous la définition de ton cours, ainsi que les propriétés dont tu disposes deja.

[invite69d45bb4]

ben desolé mais j'ai que ça.

pouvez vous m'aidez quand meme ?

[invitec317278e]

comment peut-on démontrer une formule à partir d'aucun point de départ...?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

voici le point de depart je pense

"pour tout espace vectoriel E de dimension n> ou egal à 1 et toute base b de E . l'application det b est une forme n-lineaire alternée non nulle sur E . elle prends la valeur 1 sur b ."

[leon1789]

voici le point de depart je pense

"pour tout espace vectoriel E de dimension n> ou egal à 1 et toute base b de E . l'application det b est une forme n-lineaire alternée non nulle sur E . elle prends la valeur 1 sur b ."

On va prendre b = base canonique de E=K^n.

Dans tes bagages, as-tu l'unicité d'une telle application (multilinéaire alternée valant 1 sur une base fixée) ?

[invite69d45bb4]

non! mais justement c'est ce qu'il faut demontrer...

[leon1789]

Ok.

Un plan possible pour prouver l'unicité (par récurrence) est de démontrer la formule de développement par rapport à la première colonne.

[invite69d45bb4]

justement quelqu'un pourrait il me demontrer cette formule cad montrer que c'est une forme n-lineaire , qu'elle est non nulle et qu'en plus elle est alternée.

je n'y arrive pas du tout


merci par avance

[invitec317278e]

Il suffit en gros de voir que dans chaque produit des a... de la grande somme, il y a un et un seul a de chaque colonne, ça permet de tout faire.

[invite69d45bb4]

oulala je vois pas du tout .pourrais tu expliciter ça avec des calculs stp?

[invitec317278e]

Bon.

On part d'une base B de E de dimension n.

On cherche les formes multilinéaires alternées valant 1 sur B

Analyse :
soit f une telle forme, soit une famille de vecteurs qui s'écrivent chacun :, et (e1,...,en) étant B.

on a alors, en développant l'application multilinéaire comme un produit : , avec g parcourant l'ensemble des application de [|1,n|] dans lui même.

Comme f est censée être alternée, on enlève les applications surjectives (car, (g(i)=g(j) pour certains i, j, et f(...)=0, donc ca ne compte pas).
il ne reste donc que les permutations.
Ensuite, on démontre que .

d'où la formule : car f vaut 1 en B.

Ainsi, si une telle forme existe, elle est donnée par , et est manifestement unique

Synthèse :

...etc...



Il doit bien sûr y avoir quelques erreurs dans les indices, mais bon...

[invite69d45bb4]

je ne vois pas les liens avec les g pour permutation