barycentres...

[invite21126052]

bonjour à tous, un ami m'a donné un exercice sur les barycentres, et j'ai un petit problème pour le résoudre, ce serait sympa de me donner un petit coup de main

soit trois points A, B et C du plan.
on pose I le barycentre d'un système pondérés des points A, B et C, et J un autre (donc des coefficients différents).
On cherche à exprimer le point d'intersection de (AB) et (IJ) en "barycentre" de A et B (puisqu'il se situe sur cette droite...)

j'ai déjà fait pas mal de calculs dans un cas général, avec alpha-alpha', beta-beta' etc, et en prenant un exemple particulier, mais j'ai quelques problèmes pour la méthode, j'introduis trop de variables, et j'arrive pas à les éliminer...

est ce que quelq'un aurait une idée? (même sur un exemple numérique quelconque)
merci d'avance

planck

PS: c'est moi, ou le forum est encore à l'heure d'hiver??!
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[matthias]

Méthode bourrin:
Tu connais les coordonnées de A, B et C (tu choisis ton repère comme ça t'arrange).
Tu sais calculer les coordonnées de I et J dans ce repère facilement.
Tu trouves les équations des droites (AB) et (IJ).
Tu calcules les coordonnées du point d'intersection.
Tu l'exprime en terme de barycentre de A et B.
C'est pénible, mais fait méthodiquement, ça ne doit pas poser de problème.

[invite21126052]

bah oui mais justement, (et j'aurais dû le préciser, excuse-moi!) on a ni repère, ni coordonnées!!

d'après-moi, on n'a que l'associativité du barycentre et les relations vectorielles (je pense qu'on est pas obligé de définir un repère pour les utiliser, si?) à notre disposition...

ou bien alors ce problème n'a pas de solution "générale" ? (bien que ça m'étonnerait, c'est aussi possible...!) ou encore il ne m'a pas fourni l'exercice en entier

en tout cas, merci pour ta réponse...

[matthias]

D'abord j'ai précisé que ma réponse était bourrin.
Ensuite, j'ai bien dit que tu choississais ton repère comme ça t'arranges. Ce n'est pas parce qu'il n'est pas donné au début que tu n'as pas le droit d'en créer un de toutes pièces.
Tu peux choisir par exemple A(0;0), B(1;0).
Si tu veux un repère orthonormé, tu devras introduire les coordonnées de C en paramètres. De toute façon il te faudra deux paramètres pour décrire la "forme" de ton triangle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

on appelle K le point d'intersection: il faut l'écrire sous la forme Bar{(A, x), (B, y)} sachant qu'il s'écrit aussi Bar{(I, u), (J, v)}. Or ce dernier barycentre s'écrit en fonction de A, B, et C, disons Bar{(A, r), (B, s), (C,t)}.

Ensuite, si C n'est pas sur (AB), on a donc t=0 et en identifiant modulo un coefficient multiplicatif, on doit pouvoir déterminer x et y.

A+

[matthias]

Salut,

on appelle K le point d'intersection: il faut l'écrire sous la forme Bar{(A, x), (B, y)} sachant qu'il s'écrit aussi Bar{(I, u), (J, v)}. Or ce dernier barycentre s'écrit en fonction de A, B, et C, disons Bar{(A, r), (B, s), (C,t)}.

Ensuite, si C n'est pas sur (AB), on a donc t=0 et en identifiant modulo un coefficient multiplicatif, on doit pouvoir déterminer x et y.

A+

Oui c'est plus simple

[invite21126052]

ok...je crois avoir trouvé l'exercice, et après l'avoir en partie fait, je trouve: (nouvelles notations... désolé...)
K = bar { (A,2) (C,1) (D,1)}, et je veux l'intersection X de (AC) et (DK)

je trouve avec cabri:
X = bar { (A,2) (C,1) }

mais ça me semble bizarre "d'éliminer" aussi simplement le point D du système... qu'en pensez vous? c'est ce que tu proposais martini_bird, non?

et merci pour vos réponses!

PS: la droite (DK), c'est l'ensemble des points M du plan barycentres de {(A,2) (C,1) (D,x)} avec x décrivant IR? nan... j'avoue que je m'embrouille un peu!!

[matthias]

Si I = Bar {(A,a1) (B,b1) (C,c1)}, J = Bar {(A,a2) (B,b2) (C,c2)}
Je trouve K = Bar {(A,c2a1-c1a2) (B,c2b1-c1b2)}
Si c'est bon, vu la simplicité du résultat, il doit y avoir une méthode vraiment simple pour le prouver.

[matthias]

ok...je crois avoir trouvé l'exercice, et après l'avoir en partie fait, je trouve: (nouvelles notations... désolé...)
K = bar { (A,2) (C,1) (D,1)}, et je veux l'intersection X de (AC) et (DK)

je trouve avec cabri:
X = bar { (A,2) (C,1) }

mais ça me semble bizarre "d'éliminer" aussi simplement le point D du système... qu'en pensez vous? c'est ce que tu proposais martini_bird, non?

et merci pour vos réponses!

PS: la droite (DK), c'est l'ensemble des points M du plan barycentres de {(A,2) (C,1) (D,x)} avec x décrivant IR? nan... j'avoue que je m'embrouille un peu!!

Déjà, nos résultats sont compatibles.

pour x différent de -3
M = Bar {(A,2) (C,1) (D,x)} <=> M = Bar {(A,2) (C,1) (D,1) (D,x-1)}
<=> M= Bar {(K,4), (D,x-1)} <=> M appartient à (DK)

[invite21126052]

oki, merci à vous! en ce qui me concerne, après trois pages de calculs (à cause des fautes... ), j'arrive à des résultats vectoriels, barycentriques et sur cabri qui concordent... donc j'imagine que c'est juste

donc pour moi c'est ok! merci beaucoup!