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barycentres...



  1. #1
    planck

    barycentres...


    ------

    bonjour à tous, un ami m'a donné un exercice sur les barycentres, et j'ai un petit problème pour le résoudre, ce serait sympa de me donner un petit coup de main

    soit trois points A, B et C du plan.
    on pose I le barycentre d'un système pondérés des points A, B et C, et J un autre (donc des coefficients différents).
    On cherche à exprimer le point d'intersection de (AB) et (IJ) en "barycentre" de A et B (puisqu'il se situe sur cette droite...)

    j'ai déjà fait pas mal de calculs dans un cas général, avec alpha-alpha', beta-beta' etc, et en prenant un exemple particulier, mais j'ai quelques problèmes pour la méthode, j'introduis trop de variables, et j'arrive pas à les éliminer...

    est ce que quelq'un aurait une idée? (même sur un exemple numérique quelconque)
    merci d'avance

    planck

    PS: c'est moi, ou le forum est encore à l'heure d'hiver??!

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : barycentres...

    Méthode bourrin:
    Tu connais les coordonnées de A, B et C (tu choisis ton repère comme ça t'arrange).
    Tu sais calculer les coordonnées de I et J dans ce repère facilement.
    Tu trouves les équations des droites (AB) et (IJ).
    Tu calcules les coordonnées du point d'intersection.
    Tu l'exprime en terme de barycentre de A et B.
    C'est pénible, mais fait méthodiquement, ça ne doit pas poser de problème.

  4. #3
    planck

    Re : barycentres...

    bah oui mais justement, (et j'aurais dû le préciser, excuse-moi!) on a ni repère, ni coordonnées!!

    d'après-moi, on n'a que l'associativité du barycentre et les relations vectorielles (je pense qu'on est pas obligé de définir un repère pour les utiliser, si?) à notre disposition...

    ou bien alors ce problème n'a pas de solution "générale" ? (bien que ça m'étonnerait, c'est aussi possible...!) ou encore il ne m'a pas fourni l'exercice en entier

    en tout cas, merci pour ta réponse...
    Dernière modification par planck ; 15/04/2005 à 15h05.

  5. #4
    matthias

    Re : barycentres...

    D'abord j'ai précisé que ma réponse était bourrin.
    Ensuite, j'ai bien dit que tu choississais ton repère comme ça t'arranges. Ce n'est pas parce qu'il n'est pas donné au début que tu n'as pas le droit d'en créer un de toutes pièces.
    Tu peux choisir par exemple A(0;0), B(1;0).
    Si tu veux un repère orthonormé, tu devras introduire les coordonnées de C en paramètres. De toute façon il te faudra deux paramètres pour décrire la "forme" de ton triangle.

  6. #5
    martini_bird

    Re : barycentres...

    Salut,

    on appelle K le point d'intersection: il faut l'écrire sous la forme Bar{(A, x), (B, y)} sachant qu'il s'écrit aussi Bar{(I, u), (J, v)}. Or ce dernier barycentre s'écrit en fonction de A, B, et C, disons Bar{(A, r), (B, s), (C,t)}.

    Ensuite, si C n'est pas sur (AB), on a donc t=0 et en identifiant modulo un coefficient multiplicatif, on doit pouvoir déterminer x et y.

    A+

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : barycentres...

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    on appelle K le point d'intersection: il faut l'écrire sous la forme Bar{(A, x), (B, y)} sachant qu'il s'écrit aussi Bar{(I, u), (J, v)}. Or ce dernier barycentre s'écrit en fonction de A, B, et C, disons Bar{(A, r), (B, s), (C,t)}.

    Ensuite, si C n'est pas sur (AB), on a donc t=0 et en identifiant modulo un coefficient multiplicatif, on doit pouvoir déterminer x et y.

    A+
    Oui c'est plus simple

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  10. #7
    planck

    Re : barycentres...

    ok...je crois avoir trouvé l'exercice, et après l'avoir en partie fait, je trouve: (nouvelles notations... désolé...)
    K = bar { (A,2) (C,1) (D,1)}, et je veux l'intersection X de (AC) et (DK)

    je trouve avec cabri:
    X = bar { (A,2) (C,1) }

    mais ça me semble bizarre "d'éliminer" aussi simplement le point D du système... qu'en pensez vous? c'est ce que tu proposais martini_bird, non?

    et merci pour vos réponses!

    PS: la droite (DK), c'est l'ensemble des points M du plan barycentres de {(A,2) (C,1) (D,x)} avec x décrivant IR? nan... j'avoue que je m'embrouille un peu!!

  11. #8
    matthias

    Re : barycentres...

    Si I = Bar {(A,a1) (B,b1) (C,c1)}, J = Bar {(A,a2) (B,b2) (C,c2)}
    Je trouve K = Bar {(A,c2a1-c1a2) (B,c2b1-c1b2)}
    Si c'est bon, vu la simplicité du résultat, il doit y avoir une méthode vraiment simple pour le prouver.

  12. #9
    matthias

    Re : barycentres...

    Citation Envoyé par planck
    ok...je crois avoir trouvé l'exercice, et après l'avoir en partie fait, je trouve: (nouvelles notations... désolé...)
    K = bar { (A,2) (C,1) (D,1)}, et je veux l'intersection X de (AC) et (DK)

    je trouve avec cabri:
    X = bar { (A,2) (C,1) }

    mais ça me semble bizarre "d'éliminer" aussi simplement le point D du système... qu'en pensez vous? c'est ce que tu proposais martini_bird, non?

    et merci pour vos réponses!

    PS: la droite (DK), c'est l'ensemble des points M du plan barycentres de {(A,2) (C,1) (D,x)} avec x décrivant IR? nan... j'avoue que je m'embrouille un peu!!
    Déjà, nos résultats sont compatibles.

    pour x différent de -3
    M = Bar {(A,2) (C,1) (D,x)} <=> M = Bar {(A,2) (C,1) (D,1) (D,x-1)}
    <=> M= Bar {(K,4), (D,x-1)} <=> M appartient à (DK)

  13. #10
    planck

    Re : barycentres...

    oki, merci à vous! en ce qui me concerne, après trois pages de calculs (à cause des fautes... ), j'arrive à des résultats vectoriels, barycentriques et sur cabri qui concordent... donc j'imagine que c'est juste

    donc pour moi c'est ok! merci beaucoup!

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